剑指Offer——JZ41.和为S的连续正数序列【滑动窗口】【√N复杂度数学解法】

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题解

• 暴力直接gun粗
• 对于连续区间的问题，前缀和滑动窗口都是不错的方案。
• 滑动窗口的解法的时间复杂度很显然是 $O(N)$，实际时间复杂的可以常数降低至 $O(\frac{N}{2})$
• 前缀的话，一遍求前缀数组，然后按照滑动窗口的方式。其实最终都是滑动窗口的思维方式，因为$O(N^2)$ 枚举起终点的解法太垃圾了

还有一种官方没有的解法，时间复杂度可以降低至 $O(\sqrt{N})$：

• 如果长度为 $n$ 的连续整数和为$sum$，那么 $\frac{sum}{n}$ 就是中位数。知道中位数和长度，就可以得到整个序列了
• 可以对 $n$ 进行分类讨论：
  $n是奇数：$序列中间数正好是$\frac{sum}{n}$，开始元素为$\frac{sum}{n}-(\frac{n-1}{2})$。条件为：n % 2 == 1 && sum % n == 0；
  $n是偶数：$序列偏左的中间数是$\frac{sum}{n}$，开始元素同上。条件为：(sum%n) * 2 == n
• 那么n的范围是多少呢？最小肯定是2，最大的时候，我们就需要使整体和最小。那么久从1开始算起。根据等差数列和公式，得到条件： $(1+n)*n/2<=S$ → $n<\sqrt{2S}$
• 但是注意，偶数的时候，一定会找到符合题意的么？
• 例如：n=4的时候，sum=6。按照上述方式划分得到的是[0,1,2,3]不符合题意。因为我们只要正整数组合。
• 或者是否会出现[-1,0,1,2…]这种情况呢？我们需要正确性证明。
• 注意到我们所取的 $n$ 的范围：$[2, \sqrt{2S}]$
• 在这个范围内的$n$是通过等差数列和公式推导出来的，也就是说，都是满足等差数列前n项和的n。推算条件的数列最小元素是1.所以，在这个条件下，肯定不会出现非正整数的情况。

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AC-Code

• $O(N)解法$

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > FindContinuousSequence(int sum) {
        vector<vector<int>> ans;
        int L = 1, R = 1;    // [L. R] 
        int num = 1;
        while(L <= sum / 2) {
            if(num == sum) {
                vector<int> vec;
                for(int i = L; i <= R; ++i) 
                    vec.push_back(i);
                ans.push_back(vec);
                num -= L;
                ++L;
            }
            else if(num < sum) {
                ++R;
                num += R;
            }
            else {
                num -= L;
                ++L;
            }
        }
        return ans;
    }
};
/*     x-n,...,x,...,x+n
      (2*n+1)*x==sum        */

• $O(\sqrt{N})解法$

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > FindContinuousSequence(int sum) {
        vector<vector<int>> ans;
        int n = sqrt(sum * 2);
        for(int i = n; i >= 2; --i) {
            if(i & 1 && sum % i == 0 || (sum % i) * 2 == i) {
                vector<int> vec;
                for(int j = 0, k = (sum / i) - (i - 1) / 2; j < i; ++j, ++k)
                    vec.push_back(k);
                ans.push_back(vec);
            }
        }
        return ans;
    }
};