【2015 NEERC - G 】Garden Gathering【距離計算變形、數學巧妙轉換】

題意

給出 $n$ 個二維座標點，要求給出兩個點的編號滿足此兩點間距離最遠，僅允許走 $45$ 度斜邊與網格邊。$(2\leq n\leq 2*10^5, |x_i|,|y_i|\leq 10^7)$

題目鏈接：$link$

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思路

此題僅允許走斜邊與網格邊，而非最短路徑，因此不同於之前僅考慮最短路徑的做法，即求凸包直徑。（不過此題直接求凸包直徑貌似也能過，應該是因爲此種新定義的路徑與絕對路徑間的差值不大有關）

此題求法非常巧妙，我們可以先列舉下述四種情況，對整體題目有一個大致把握。

上述四種情況中，紅色邊爲真實路徑，因此我們可以列出路徑的計算公式如下。
$(1) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1+y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2+y_2] \\ (2) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1-y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2-y_2] \\ (3) \ dis = [x_1+(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2+(\sqrt2-1)*y_2] \\ (3) \ dis = [x_1-(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2-(\sqrt2-1)*y_2] \\$
此四種情況即爲本題計算答案時所有的情況，不難發現，對於情況一來說，如果採用的公式非公式 $(1)$，則 $dis$ 會變小，即對於每一種情況來說，只有使用其情況所對應的公式才能獲得最大的 $dis$ 值，所以我們可以對於上述的四種情況分別計算。

以情況 $(1)$ 爲例，每次選取 $(\sqrt2-1)*x_1+y_1$ 的最大值和最小值，然後最大值減去最小值即爲該情況下的兩點距離最大值。

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總結

此做法不單適應於本題，如果題目改爲只能走網格邊或者變成切比雪夫座標系，本做法都可以非常簡單地解決。因此該做法的思想比較精妙，需要掌握！

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代碼

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 2e5+100;
const double inf = 1e16;
const double E = sqrt(2)-1;
using namespace std;

double X[N], Y[N], ans, f[4][2] = {{E,1},{E,-1},{1,E},{1,-E}};
int n, p1, p2, id1, id2;

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf",&X[i],&Y[i]);
	for(int k = 0; k < 4; k++){
		double maxn = -inf, minn = inf;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			double cur = X[i] * f[k][0] + Y[i] * f[k][1];
			if(cur > maxn) maxn = cur, id1 = i;
			if(cur < minn) minn = cur, id2 = i;
		}
		if(ans < maxn-minn) ans = maxn-minn, p1 = id1, p2 = id2;
	}
	printf("%d %d\n", p1, p2);
}

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後記

博觀而約取，厚積而薄發。