【思維題】A014_LC_按位與爲零的三元組（map 預處理 + 組合數學）

一、Problem

給定一個整數數組 A，找出索引爲 (i, j, k) 的三元組，使得：

0 <= i < A.length
0 <= j < A.length
0 <= k < A.length
A[i] & A[j] & A[k] == 0，其中 & 表示按位與（AND）操作符。

輸入：[2,1,3]
輸出：12
解釋：我們可以選出如下 i, j, k 三元組：
(i=0, j=0, k=1) : 2 & 2 & 1
(i=0, j=1, k=0) : 2 & 1 & 2
(i=0, j=1, k=1) : 2 & 1 & 1
(i=0, j=1, k=2) : 2 & 1 & 3
(i=0, j=2, k=1) : 2 & 3 & 1
(i=1, j=0, k=0) : 1 & 2 & 2
(i=1, j=0, k=1) : 1 & 2 & 1
(i=1, j=0, k=2) : 1 & 2 & 3
(i=1, j=1, k=0) : 1 & 1 & 2
(i=1, j=2, k=0) : 1 & 3 & 2
(i=2, j=0, k=1) : 3 & 2 & 1
(i=2, j=1, k=0) : 3 & 1 & 2

提示：

1 <= A.length <= 1000
0 <= A[i] < 2^16

二、Solution

方法一：map 預處理

思路

$O(n^3)$ 會超時；由於題目沒有規定 i、j、k 的先後順序，所以我們可以先用 map + $O(n^2)$ 來統計一遍 A 中每個二元組的按位與 & 結果

最後再用通過：遍歷 map + 嵌套一層 $O(n)$ 循環將數字來組成三元組

class Solution {
public:
    int countTriplets(vector<int>& A) {
    	int n = A.size(), cnt = 0;
    	unordered_map<int, int> mp;

    	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			mp[A[i]&A[j]]++;
			
		for (auto& kv : mp)
    	for (int i = 0; i < n; i++)
   			if ((A[i] & kv.first) == 0)
            	cnt += kv.second;
		return cnt;
    }
};

但還是 25/25 的奇怪超時了，在想了一會，發現當 map 的 key 爲 0 時，它可以和任意個數字按位與 & 得到結果 0，再由組合數學定理得：cnt += kv.first * n，故可以提前結束該次遍歷

class Solution {
public:
    int countTriplets(vector<int>& A) {
    	int n = A.size(), cnt = 0;
    	unordered_map<int, int> mp;

    	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			mp[A[i]&A[j]]++;

        for (auto& kv : mp) {
            if (kv.first == 0) {
                cnt += kv.second * n;
            } else for (int i = 0; i < n; i++) if ((A[i] & kv.first) == 0) {
                cnt += kv.second;
            }
        }
		return cnt;
    }
};

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，