【2015 NEERC - G 】Garden Gathering【距离计算变形、数学巧妙转换】

题意

给出 $n$ 个二维座标点，要求给出两个点的编号满足此两点间距离最远，仅允许走 $45$ 度斜边与网格边。$(2\leq n\leq 2*10^5, |x_i|,|y_i|\leq 10^7)$

题目链接：$link$

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思路

此题仅允许走斜边与网格边，而非最短路径，因此不同于之前仅考虑最短路径的做法，即求凸包直径。（不过此题直接求凸包直径貌似也能过，应该是因为此种新定义的路径与绝对路径间的差值不大有关）

此题求法非常巧妙，我们可以先列举下述四种情况，对整体题目有一个大致把握。

上述四种情况中，红色边为真实路径，因此我们可以列出路径的计算公式如下。
$(1) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1+y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2+y_2] \\ (2) \ dis = [(\sqrt2-1)*x_1-y_1]-[(\sqrt2-1)*x_2-y_2] \\ (3) \ dis = [x_1+(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2+(\sqrt2-1)*y_2] \\ (3) \ dis = [x_1-(\sqrt2-1)*y_1]-[x_2-(\sqrt2-1)*y_2] \\$
此四种情况即为本题计算答案时所有的情况，不难发现，对于情况一来说，如果采用的公式非公式 $(1)$，则 $dis$ 会变小，即对于每一种情况来说，只有使用其情况所对应的公式才能获得最大的 $dis$ 值，所以我们可以对于上述的四种情况分别计算。

以情况 $(1)$ 为例，每次选取 $(\sqrt2-1)*x_1+y_1$ 的最大值和最小值，然后最大值减去最小值即为该情况下的两点距离最大值。

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总结

此做法不单适应于本题，如果题目改为只能走网格边或者变成切比雪夫座标系，本做法都可以非常简单地解决。因此该做法的思想比较精妙，需要掌握！

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代码

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 2e5+100;
const double inf = 1e16;
const double E = sqrt(2)-1;
using namespace std;

double X[N], Y[N], ans, f[4][2] = {{E,1},{E,-1},{1,E},{1,-E}};
int n, p1, p2, id1, id2;

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf",&X[i],&Y[i]);
	for(int k = 0; k < 4; k++){
		double maxn = -inf, minn = inf;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			double cur = X[i] * f[k][0] + Y[i] * f[k][1];
			if(cur > maxn) maxn = cur, id1 = i;
			if(cur < minn) minn = cur, id2 = i;
		}
		if(ans < maxn-minn) ans = maxn-minn, p1 = id1, p2 = id2;
	}
	printf("%d %d\n", p1, p2);
}

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后记

博观而约取，厚积而薄发。