《Detecting sequences of system states in temporal networks》

论文地址

https://www.nature.com/articles/s41598-018-37534-2

bibtex

@article{DBLP:journals/corr/abs-1803-04755,
  author    = {Naoki Masuda and
               Petter Holme},
  title     = {Detecting sequences of system states in temporal networks},
  journal   = {CoRR},
  volume    = {abs/1803.04755},
  year      = {2018},
  url       = {http://arxiv.org/abs/1803.04755},
  archivePrefix = {arXiv},
  eprint    = {1803.04755},
  timestamp = {Mon, 13 Aug 2018 16:46:49 +0200},
  biburl    = {https://dblp.org/rec/journals/corr/abs-1803-04755.bib},
  bibsource = {dblp computer science bibliography, https://dblp.org}
}

代码地址

https://github.com/naokimas/state_dynamics

主要内容

动态网络是由网络快照（snapshot）的序列来描述，这篇文章主要考虑网络的链路是动态变化的，比如通讯网络中，节点之间的通讯状态是时断时续的。

假设一个快照的持续时间为$T$，在这段时间内存在通讯的节点对之间具有连边，用网络的邻接矩阵表示。动态网络序列由网络快照的邻接矩阵组成。

接下来要识别这些邻接矩阵的状态，核心思想就是（层次）聚类。

聚类算法的核心是求元素之间的距离，即网络邻接矩阵间的距离。

网络的距离度量

图编辑距离

$d = N(G_1) + N(G_2) - 2N(G_1 \cap G_2) + M(G_1) + M(G_2) - 2M(G_1 \cap G_2)$其中，$N(\cdot), M(\cdot)$ 分别代表节点数和边数。

DeltaCon

@article{10.1145/2824443,
author = {Koutra, Danai and Shah, Neil and Vogelstein, Joshua T. and Gallagher, Brian and Faloutsos, Christos},
title = {DeltaCon: Principled Massive-Graph Similarity Function with Attribution},
year = {2016},
issue_date = {February 2016},
publisher = {Association for Computing Machinery},
address = {New York, NY, USA},
volume = {10},
number = {3},
issn = {1556-4681},
url = {https://doi.org/10.1145/2824443},
doi = {10.1145/2824443},
journal = {ACM Trans. Knowl. Discov. Data},
month = feb,
articleno = {28},
numpages = {43},
keywords = {node attribution, anomaly detection, graph classification, culprit nodes and edges, Graph similarity, network monitoring, graph comparison, edge attribution}
}

The quantum spectral Jensen-Shannon divergence

JS 散度解决了 KL 散度不对称的问题：

KL散度：
$KL(P||Q) = \sum_x P(x)\log\frac{P(x)}{Q(x)}$
KL散度具有正定性和非对称性。

JS 散度：
$JS(P||Q) = \frac{1}{2}KL(P||M) + \frac{1}{2}KL(Q||M), \\ M = \frac{1}{2}(Q+P)$
熵的定义为：
$H(P) = -\sum_x P(x)\log P(x),$
从熵的角度来看JS散度：$\begin{array}{rl} JS(P||Q) =&\frac{1}{2}KL(P||M) + \frac{1}{2}KL(Q||M) \\\\ =& \frac{1}{2} \left(\sum_x P(x)\log P(x) - \sum_x P(x)\log M(x) + \sum_x Q(x)\log Q(x) - \sum_x Q(x)\log M(x) \right) \\\\ =& H(M)-\frac{1}{2} \left( H(P) + H(Q)\right) \end{array}$
JS散度具有:

1. 正定性且值域为$[0,1]$；
2. 对称性。

JS散度是比较两个分部的距离，怎样用来计算两个网络的相似度呢？

首先定义密度矩阵：
$\rho = e^{-\beta L}/\sum_{i=1}^N e^{-\beta \lambda_i}$
其中，$L = D-A$，$e^{-\beta L} = I -\beta L + \frac{1}{2!}\beta^2L^2 - \frac{1}{3!}\beta^3L^3 +\cdots$， 怎么理解这个式子呢？

其实，$e^{-tL}$ 是网络扩散过程：
$\dot{x} = -Lx = (A-D)x$的基本解矩阵，该方程的通解为：$x = e^{-tL}x_0$， 而 $\beta$ 控制了网络中扩散的时间。
所以$\rho$可以反映网络中的扩散过程，因而可以作为网络的特征表示。另一方面，$\rho$的特征值之和相加为1，所以$\rho$可以视为量子力学中的密度矩阵（？暂时不懂）。

对于密度矩阵定义冯纽曼熵（von Neumann entropy）：
$S(\rho) = -\sum_{i=1}^N \tilde\lambda_i \log_2\tilde\lambda_i,$其中，$\tilde\lambda_i$是$\rho$的第$i$个特征值.

根据熵和JS散度的关系，得到两个密度矩阵之间的距离度量：
$d = \sqrt{S(\frac{\rho_1 + \rho_2}{2}) - \frac{1}{2}[S(\rho_1)+S(\rho_2)]}$

其余四种频域距离

对于两种拉普拉斯矩阵：
$L = D - A, \\ L' = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}$
分别取如下两种频域距离度量：
$d_1 = \sqrt{\sum_i^n(\lambda_i(G_1) - \lambda_i(G_2))^2}$$d_2 = \sqrt{\frac{\sum_i^n(\lambda_i(G_1) - \lambda_i(G_2))^2}{\max\{\sum_i^n\lambda_i(G_1)^2 , \sum_i^n\lambda_i(G_2)^2 \}}}$
其中$\lambda_i$表示第$i$大的特征值.