動態規劃（一）——從爬樓梯問題簡單理解dp

動態規劃

​ 今天來談一談我對動態規劃的理解，我也是初學者，這裏只是通過爬樓梯這道簡單的問題，介紹一下動態規劃的核心思想和基於這道題的 DP 分析

dp 思想

​ 動態規劃（一下簡稱 dp）是一種將多個階段的問題分解成一系列單階段問題，通過總結各階段之間的關係得到所謂的狀態轉換方程，從而解決問題

​ dp 算法不同於二分、快排、雙指針等算法，存在一個大致的模板，dp 問題因爲問題要求不盡相同，推導 dp 方程的過程也不盡相同，但是我們還是可以總結一個答題流程，這裏借鑑AcWing閆學燦老師的閆氏 DP 分析法

通過爬樓梯問題來理解 dp

​ 先看題目

題目

​ 假設你正在爬樓梯，需要n階才能到達樓頂，每次你可以爬1或2個臺階，我們有多少種方法可以到達樓頂呢？（n是一個整數）

dp 思路

​ dp 問題雖然沒有固定的模板，但是我們可以根據經驗總結出一個解題的思路，經過總結，我們認爲 dp 問題分爲狀態表示和狀態計算兩步，我們依次說明

​ 我們需要根據一個問題，抽象出一個結果的集合，假設爲dp[i]，它用來表示到達第 i 個臺階的方法數，這是一個化整爲零的過程，我們稱爲狀態表示，dp[i]所表示的含義我們稱之爲它的屬性

​ 隨後，我們要通過總結dp[i]的特點或者性質，給dp[i]進行劃分，這裏劃分的依據通常是尋找最後一個不同點，那麼這個問題的劃分點是哪裏呢，很明顯是還有1步到第i階和還有2步到第i階，這裏劃分時我們需要注意，我們劃分的區間應該包含所有可能存在的情況，並且每個區間都會重複，劃分後，我們要通過dp[i]去表示兩個區間，很簡單，前者是dp[i - 1]，後者是dp[i - 2]，到這裏，這道題的思路就很明確了，因爲我們已經得到了它的 dp 方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我們只需要用代碼來實現即可

代碼

int dp(int stairs) {
    if (stairs == 1)
        return 1;
    int dp[stairs + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= stairs; ++i) dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1];
    return dp[stairs];
}