引子

最近再來回顧一下算法相關的知識，那自然，首先要學習的就是時間複雜度的概念，以及其計算方式。下面，我就會簡單地介紹下時間複雜度，以及會給出幾道典型的時間複雜度計算題。

時間複雜度

將算法中基本操作的執行次數作爲算法時間複雜度。

常見時間複雜度的大小比較關係：

下面，我將給出幾個簡單的算法，並計算其時間複雜度。

算法案例

案例一

public void fun(int n) {
    int i = 1, j = 100;
    while (i < n) {
        ++j;
        i += 2;
    }
}

求上述算法的時間複雜度。

這個算法很簡單，顯然問題的規模爲n，基本語句爲 i += 2;。我們假設循環進行了 m 次後停止。此時，我們可以得到：

1 + 2m + K = n。其中K是一個常量，可能爲0，也可能爲1，用於修正結果值。因爲在循環結束時，i 可能等於 n，也可能等於 n-1。

上面式子最終解得： $m = \frac{n - k-1}{2}$ 。

也就是說，上述算法的時間複雜度 T(n) = O(n)。

案例二

public void fun(int n) {
    int i, j, x = 0;
    for (i = 1; i < n; ++i) {
        for (j = i + 1; j <= n; ++j) {
            ++x;
        }
    }
}

這個算法也很簡單，算法的規模爲n，基本語句爲 ++x;。簡單的分析下，我們很容易得到：

對於每一個符合條件的 i，++x; 執行的次數爲 n - (i + 1) + 1 = n - i 次。

則 ++x; 執行的總次數爲： $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i) = 1 + 2+3+...+(n-1)=\frac{(n-1)}{2}(1+n-1)=\frac{(n-1)}{2}n$

顯而易見，上述算法的時間複雜度 $T(n) = O(n^{2})$ 。

案例三

public void fun(int n) {
    int i = 0, s = 0;
    while (s < n) {
        ++i;
        s += i;
    }
}

上述算法問題的規模爲n，基本語句爲 ++i; 和 s += i; 兩句。

對於這個問題，我假設循環經過 m 次結束，s的值爲S(m)。則我們很容易得到：

當 m = 1 時，S(1) = 1;
當 m = 2 時，S(2) = S(1) + 2 = 1 + 2;
當 m = 3 時，S(3) = S(2) + 3 = 1 + 2 + 3;
由上可得： $S(m) = 1 + 2 + 3 + ... + m = \frac{m}{2}(m+1)$

循環經過m次後停止，此時有 S(m) + K = n。K用於修正結果。即： $\frac{m}{2}(m+1) + K = n$

我們將其解出，得到結果：

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{8n-8K+1}}{2}; x_{2}=\frac{-1-\sqrt{8n-8K+1}}{2}(abandon)$

上面的 $x_{2}$ 是個錯誤值，我們直接將其捨棄。所以，該算法的基本語句執行的次數爲：

$f(n)=\sqrt{8n-8K+1}-1$

顯而易見，該算法的時間複雜度 $T(n) = O(\sqrt{n})$ 。

案例四

public void mergeSort(int i, int j) {
    int m = 0;
    if (i != j) {
        m = (i + j) / 2;
        mergeSort(i, m);
        mergeSort(m + 1, j);
    }
    merge(i, j, m);
}

已知下面的條件：

調用該方法時，是通過 mergeSort(1, n) 來調用該方法的。
merge() 方法的時間複雜度爲 O(n)。

求該算法的時間複雜度。

首先，我們來理解一下該方法。該方法實際的邏輯可以理解是，將需要排序的集合二等分爲兩份，分別進行排序。

比如，假設我們給定一個例子，i = 1，j = 20，意味着我們將對一個含有20個元素的集合進行排序。在 mergeSort() 方法中，會將該集合分爲兩個集合，第一個集合是下標從1到10，第二個集合是下標從 11到20。所以，如果我們設定 mergeSort() 方法的基本操作次數爲 f(n)，則 mergeSort() 方法內部的 mergeSort() 方法的基本操作次數就是 $f(\frac{n}{2})$ 。