Sqrt tree 學習筆記

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前置知識

你首先要學會的：

• $\text{RMQ}(ST \text{表})$
• 分塊
• 線段樹
• 二進制，位運算

前記

我們把 $\text{RMQ}$ 和分塊 所解決的問題搬出來：

• 在長度爲 $n$ 的數組上，$T$ 組詢問 $[l,r]$ 區間的 和（差，異或等有結合律的算術）。

顯然我們已經有了一個 $\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)$ 的算法。

思考

現在做一個 簡單 的加強，$n,T \leq 2 \times 10^7$.

你會發現預處理的時間不夠了。

很顯然，我們考慮樸素的分塊怎麼做。

將數組分爲若干個長度爲 $b$ 的塊，對於每個塊，處理塊內答案，前綴塊的答案，後綴塊的答案。

當 $b = \sqrt{n}$ 時 取到最平均的答案，可以 $\mathcal{O}(n) - \mathcal{O}(\sqrt{n})$，但顯然不行。

那考慮 $\text{RMQ}$ 呢？用 $f_{i,j}$ 表示 $[i , i + 2^j-1]$ 區間的答案，倍增處理即可。顯然是 $\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)$.

這兩個算法都無法通過 $2 \times 10^7$ 如此龐大的數據。我們思考一個新的算法。

基於分塊

首先考慮分塊基礎上的優化。同樣 處理塊內答案，前綴塊的答案，後綴塊的答案，這裏是 $\mathcal{O}(n)$ 的，考慮如何優化詢問。

詢問分兩種情況：

• 橫跨多個塊
• 包含在一個塊內

顯然，第一種情況我們可以把 橫跨的整塊 進行前綴計算，然後轉爲 對兩側不完整快的計算，即剩餘兩個部分各自包含在一個完整的塊內。這樣做是 $\mathcal{O}(1)$ 的，但如何計算第二種方案？

考慮如何處理一個塊內的方案，如果按照 分塊的暴力思想，那麼 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 就奠定了。顯然這不是我們想要的。

現在的問題轉爲，在長度爲 $\sqrt{n}$ 的數組上，$T$ 組詢問 $[l,r]$ 區間的 和（差，異或等有結合律的算術）。

咦？這不是分塊嗎？

人見人愛的 分塊套分塊 又重出江湖了？

我們可以設法將 $\sqrt{n}$ 長的塊進行再分塊，分爲 $\sqrt{\sqrt{n}}$ 長的塊，然後再不斷往下分 $\cdots \cdots$ 直到塊長爲 $1$ 爲止。

首先，似乎這樣的時間複雜度很穩，$\mathcal{O}(n + \sqrt{n} + \sqrt{\sqrt{n}} + \cdots \cdots) = \mathcal{O}(n)$，但空間上無法承受，需要處理的區間太多。

既然分塊失敗了，我們考慮在分塊的基礎上，思考新的算法。

$\texttt{Sqrt tree}$ 的建樹

俗語云：“智商不夠，數據結構來湊”。

現在我們想的一種 基於遞歸，搜索 的算法，能否有數據結構與其接軌呢？

顯然，我們可以用 樹 來實現。

對長度爲 $k$ 的區間，將其分裂爲 $\sqrt{k}$ 個長 $\sqrt{k}$ 的子區間，即有 $\sqrt{k}$ 個兒子。葉子節點的長度爲 $1$ 或 $2$.

第一層的節點維護 $[1,n]$ 的答案。

假想一下：如果這棵樹只建立 $2$ 層，可以認爲和 樸素分塊 沒有任何區別。

顯然我們建完這棵樹後，應當考慮複雜度怎樣。

整棵樹的高度是 $\mathcal{O(\log \log n)}$ 的，每層區間總長爲 $n$，建樹的時間複雜度爲 $\mathcal{O(n \log \log n)}$，可以接受。而空間上也可以接受。

那麼問題來了：在這樣類似於 線段樹 的數據結構上，如何詢問呢？

$\text{Sqrt tree}$ 的詢問

在樹高爲 $\mathcal{O}(\log \log n)$ 的樹上，按照線段樹的思想，顯然單次查詢是 $\mathcal{O}(\log \log n)$ 的。這樣並不優。

如何優化？

$\text{Sqrt tree}$ 的詢問優化

其實瓶頸在於如何快速確定樹高。樹高很好確定，直接二分就行。那麼這樣就變成了 $\mathcal{O}(\log \log \log n)$.

對於 $n = 2 \times 10^7$，這個數已經變成了近似 $2$，幾乎 可以視爲常數。

我們考慮如何把這個數徹底地降爲 $\mathcal{O}(1)$，以免夜長夢多！

$\text{Sqrt tree}$ 的詢問再優化

精髓來了。

上面我們已經做到了 $\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(\log \log \log n)$ 的算法，我們試圖做到一個 $\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(1)$.

思考一下：$\text{RMQ}$ 的預處理，如果你在詢問的時候暴力倍增，不也是 $\mathcal{O}(\log n)$ 嗎？最後我們用 二進制 的特效完成了從 $\mathcal{O}(\log n)$ 到 $\mathcal{O}(1)$ 的跳躍，讓 $\text{RMQ}$ 徹徹底底的戰勝了 線段樹（只是在兩者都能解決的領域）。

現在我們仍要運用這個黑科技，二進制的運算從來不庸俗。

所以，按照 $\text{OI Wiki}$ 的說法，

非常形象。如果你覺得這些太枯燥，我們來簡單解釋一下。

首先假設所有區間的長度都可以表示爲 $2^t (t爲自然數)$ 的形式，對於不滿足的區間我們可以在後面添上一些 不影響運算 的數值，在 $+$ 中可以是 $0$. 由於區間的增大最多 $\times 2$ 不到，因此不影響複雜度。

這樣我們可以來用二進制了。首先我們把端點寫成二進制的形式，由於每個塊長度一樣，端點呈 等差 形式，因此 每個塊的兩個端點的二進制有且僅有後 $k$ 位不同。所以顯然的，我們預處理的時候可以求出 $k$，並可以 $\mathcal{O}(1)$ 計算 當前區間兩個端點的二進制值。

如何判斷當前區間是否涵蓋在一個塊裏？顯然這個問題就變成，當前取件兩個端點的二進制是否只有後 $k$ 位不同。這個問題不難解決。我們只需要將區間兩端進行 異或操作，判斷是否 $\leq 2^k-1$ 即可。

那麼如何快速找到樹高呢（即對應再第幾層）？對當前 $[l,r]$ 計算最高位上的 $1$ 的位置，並處理 $i \in [1,n]$ 中 $i$ 的最高位上 $1$ 的位置。這樣可以 $\mathcal{O}(1)$ 計算樹高，$\mathcal{O}(1)$ 查詢啦！

這就是 $\text{Sqrt tree}$，可以實現 $\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(1)$.

可能你會說，$\mathcal{O}(n \log \log n)$ 對於 $n = 2 \times 10^7$ 會跑到 $10^8$ 左右，不穩。

$\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)$ 就穩了？

$\mathcal{O(n) - \mathcal{O}(\sqrt{n})}$ 就穩了？

顯然 $\text{Sqrt tree}$ 已經是此類問題最優的算法，沒有之一！

$\text{Sqrt tree}$ 的修改

現在出題人意外地發現你用 不帶修改 的簡單 $\text{Sqrt tree}$ 模板切題了！

出題人非常生氣，毫不客氣地加上了這樣一句話：

• 每次操作分詢問和修改兩種。

那麼如何修改呢？

直接在 $\text{Sqrt tree}$ 上暴力？

$\text{Sqrt tree}$ 的單點修改

首先考慮單點如何修改 $a_x = val$。

暴力的話，我們需要更改樹上含 $x$ 的區間，顯然我們需要重新計算的區間爲：

$\mathcal{O}(n + \sqrt{n} + \sqrt{\sqrt{n}} + \cdots \cdots) = \mathcal{O}(n)$

但是你覺得這樣很滿足嗎？那出題人給你個修改都要 $\mathcal{O}(n)$，豈不是要讓 $\mathcal{O}(nT)$ 的暴力通過了？

$\text{Sqrt tree}$ 的單點修改優化

類似於線段樹吧，可以打 $\text{lazy\_tag}$，不必完全暴力的。

這裏引進 $\text{Index}$ 的概念，記錄每個區間被修改的塊編號。

那麼 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 很穩。但是這樣詢問也增加了複雜度。

$\text{Sqrt tree}$ 的區間修改

考慮如何將 $[l,r]$ 的所有數都改成 $x$.

我們已經有了以下的算法（修改 - 查詢）：

$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log \log n) - \mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(\sqrt{n}) - \mathcal{O}(\log \log n)$

下面會一一解釋這兩種實現。

區間修改的第一種實現

第一種實現中，把第一層 被 $[l,r]$ 完全覆蓋的區間 打上標記。

兩側的塊修改一部分，沒有辦法，只能暴力，$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log \log n)$.

查詢的話，直接去 $\text{Index}$ 裏查詢，$\mathcal{O}(1)$.

區間修改的第二種實現

每個節點都會被打上標記，那麼每次詢問要把祖先的標記更新一遍，就會形成 $\mathcal{O}(\sqrt{n}) - \mathcal{O}(\log \log n)$ 的複雜度。

總結

$\text{Sqrt tree}$ 在不帶修改的情況下效率比 線段樹 要高很多，但是實現的功能不如 線段樹 多（比方說線段樹可以維護 $\text{LIS}$）；

帶修改時，$\text{RMQ}$ 無疑最優，其次是 線段樹，然後是分塊和 $\text{Sqrt tree}$.

$\text{OI}$ 中不常考，但希望大家掌握。

參考資料

$\text{Sqrt Tree - OI Wiki}$

課後習題

洛谷 $\text{P3793}$ 由乃救爺爺