Vision-Based Distributed Control Laws for Motion Coordination of Nonholonomic Robots翻譯

III. BACKGROUND

  在本節中，我們簡要回顧了我們在整個本文中使用的有關圖論和正多邊形的許多重要概念。

A. Graph Theory

  一個（無向）圖$\mathcal{G}$包含頂點$\mathcal{V}$和邊$\varepsilon$，其中邊是$\mathcal{G}$中無序的不同頂點對。如果$x,y\in\mathcal{V}$並且$(x,y)\in\varepsilon$，這是可以稱$x$，$y$相鄰，或者爲鄰居，並可以使用符號$x\sim y$表示。每個頂點的鄰居的個數數即爲其度數。 從頂點$x$到頂點$y$的長度爲$r$的路徑是一系列$r +1$個不同的頂點，這些頂點以$x$開頭，以$y$結束，依次連接相鄰的頂點。 如果圖$\mathcal{G}$的任意兩個頂點之間有一條路徑，則稱G已連接。

  （無向）圖G的鄰接矩陣$A(\mathcal{G})=[a_{ij}]$是一個對稱矩陣，其中行和列由$\mathcal{G}$的頂點索引，因此如果頂點$i$和頂點$j$是鄰居，則$a_{ij} = 1$，否則$a_{ij} = 0$。 我們還假設所有$i$的$a_{ii} = 0$。 圖G的度矩陣$D(\mathcal{G})$是對角矩陣，其中行和列由\mathcal{V}索引，其中$(i,i)$-項是頂點$i$的度。

  定義爲的對稱奇異矩陣
$L(\mathcal{G})=D(\mathcal{G})-A(\mathcal{G})$
稱爲$\mathcal{G}$的拉普拉斯算子。拉普拉斯算子矩陣可以表徵圖的許多拓撲特性。 拉普拉斯算子$L$是一個半正定矩陣，其零特徵值（即其核的維數）的代數多重性等於圖中連通的分量數。 與零特徵值關聯的$n$維特徵向量是1的向量，$1_n = [1,...,1]^T$ 。 有關圖論的更多信息，請參見[13]。

B. Regular Polygons

  令$d<n$爲正整數，並定義$p = n / d$。 令$y_1$爲單位圓上的一個點。 令$R_\alpha$爲順時針旋轉角度$\alpha=2π/ p$。 廣義正則多邊形可以表示爲${p}$由點$y_i + 1 =R_\alpha y_i$組成和或由點$i$與$i + 1$之間的邊組成。

  當$d=1$時，多邊形${p}$被稱爲普通規則多邊形，並且其邊緣不相交。 如果$d>1$，並且$n$和$d$爲互質，則邊線相交，並且多邊形爲星形。 如果$n$和$d$的公共因子$l>1$，則該多邊形由具有${n / l}$個頂點和邊緣的同一個多邊形的$l$個重複圖形組成。 如果$d = n$，則多邊形${n / n}$對應於同一位置的所有點。 如果$d = n / 2$（$n$個偶數），則多邊形由兩個端點和它們之間的一條線組成，點的一端具有偶數索引，而另一端具有奇數索引。 有關正則圖的更多信息，請參見[7]。

IV. PROBLEM STATEMENT

  考慮一組$n$個單位速度的平面(2維空間中的)代理(agent)。 每個代理都能夠感知來自其鄰居的信息。 代理$i$的鄰居集，即$\mathcal{N}_i$，是代理$i$可以“看到”的代理集。 “看見”的確切含義將在後面闡明。 鄰域的大小取決於傳感器的特性。 代理之間的相鄰關係可以通過連接圖$\mathcal{G} =(\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{W})$描述。

定義1（連通圖）：連通圖$\mathcal{G} =(\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{W})$是由以下幾部分構成
1）由一組移動代理組成的一組頂點集合$(\mathcal{V}$；
2）一組邊$\varepsilon = {((i,j)| i,j\in(\mathcal{V},and i〜j}$；
3）一組均爲正值的，與每條邊$(i,j)$相對應的邊權重集合。

代理$i$的鄰居可以被定義爲：
${{\mathcal{N}}_{i}}\doteq \{j|i\sim j\}\subseteq \mathcal{V}\backslash \{i\}$

  令$r_i$代表代理$i$的位置，令$v_i$爲其速度矢量。 每個單位速度代理的運動學公式爲：
${{\dot{r}}_{i}}={{v}_{i}}$
${{\dot{v}}_{i}}={{\omega }_{i}}v_{i}^{\bot}$
${{\dot{v}}_{i}^{\bot}}=-{{\omega }_{i}}v_{i}$
  其中$v_{i}^{\bot}$是垂直於速度矢量$v_i$的單位矢量（見圖1）。 正交對$\{v_i，v_{i}^{\bot}\}$形成了主體$i$的主體框架。我們用$v = [v^T_1,...,v^T_n]^T\in\mathbb{R}^{2n×1}$表示所有速度的疊加矢量。

  每個代理的控制輸入是角速度$ω_i$。由於假定代理以恆定的單位速度移動，因此施加到每個代理的力必須垂直於其速度矢量，即，作用在每個代理上的力是陀螺力，並且它不會改變其速度（因此，它的動能）。因此，$ω_i$充當每個代理的轉向控制[16]。

  讓我們正式定義我們要考慮的編隊形式。

定義2（平行形式）：所有代理的航向相同且速度矢量對齊的配置稱爲平行形式。

  請注意，在此定義中，我們不考慮達成一致的速度的價值，而僅考慮達成一致的事實。在平衡狀態下，代理的相對距離決定了隊形的形狀。另一個有趣的編隊隊形是平衡的圓形編隊。

定義3（平衡圓形結構）：代理沿着相同的圓形軌跡移動並且代理的幾何中心固定的配置稱爲平衡圓形結構。這種形狀可以由適當的規則多邊形表示。

  在以下各節中，我們將研究每個編隊並設計其相應的分佈式控制法則。

V. PARALLEL FORMATIONS

  我們在本節中的目標是爲每個代理設計一個控制法則，以使移動代理的航向達到一致，即，它們的速度矢量對齊，從而形成類似蜂羣的模式。 對於任意連通性圖$\mathcal{G}$，請考慮拉普拉斯矩陣$L$。因此，我們按以下方法定義未對準的度量[27]，[35]：
$\omega (v)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i\tilde{\ }j}{|{{v}_{i}}-}{{v}_{j}}{{|}^{2}}=\frac{1}{2}\left\langle v,\bar{L}v \right\rangle \tag{2}$
其中累加的是所有的$(i,j)\in\omega$，$\bar{L}=L\bigotimes I_2 \in \mathbb{R}^{2n×2n}$，$I_2$是2x2的單位矩陣。則$\omega(v)$關於時間的導數爲：

$\dot{\omega }(v)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left\langle {{{\dot{v}}}_{i}},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\dot{\omega }}}_{i}}\left\langle \dot{v}_{i}^{\bot},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle }$

其中${{(\bar{L}v)}_{i}}\in \mathbb{R}^{2}$是與第$i$個代理相關聯的$\bar{L}v$的子向量。 因此，以下面的梯度下降控制規則保證了$\omega (v)$單調遞減：

${{\omega }_{i}}=k\left\langle v_{i}^{\bot},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle =-k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\left\langle v_{i}^{\bot},{{v}_{ij}} \right\rangle }$
其中$k<0$是已知的，$v_{ij}=v_i-v_j$。

備註1： 令$\theta_i$表示在固定世界座標系中測得的代理$i$的航向（見圖1）。 單位速度矢量$v_i$及其正交矢量$v^⊥_i$由$v_i = [cosθ_i,sinθ_i]^T$和$v^⊥_i = [-sinθ_i,cosθ_i]^T$給出。 因此，控制輸入（3）變爲

${{\omega }_{i}}=\begin{matrix} k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\sin ({{\theta }_{i}}-{{\theta }_{j}})} & k<0 \\ \end{matrix} \tag{4}$

圖1.每個代理的軌跡由平面Frenet框架表示。

  值得注意的是，所提出的控制器是用於耦合非線性振盪器的Kuramoto模型控制器，該控制器已在數學物理學以及控制界中進行了廣泛的研究[15]，[19]，[36]。相同的模型也已經用於循環機器人系統的相位調節[18]。

  我們有以下定理[27]，提供了獲得平行形式的充分條件。

定理1： 考慮一個具有動力學的$n$個單位速度智能體的系統（1）。如果基礎連通性圖保持固定和連接，則通過應用控制輸入（4），系統收斂到$ω= [ω_1,···,ω_n]^T = 0$的平衡點。此外，如果$θ_i∈(-π/ 2，π/ 2)$，則速度共識集在局部有吸引力。 。

證明1：證明[27]。

  速度共識集是所有主體具有相同速度向量的狀態集，它對應於定義2中定義的平行形式的隊形。請注意，$θ_i∈（-π/ 2，π/ 2）∀i = {1,... ,n}$是將初始航向限制爲半圓的充分條件。結果可以擴展到switching topology,，如[27]所示。