Vision-Based Distributed Control Laws for Motion Coordination of Nonholonomic Robots翻译

III. BACKGROUND

  在本节中，我们简要回顾了我们在整个本文中使用的有关图论和正多边形的许多重要概念。

A. Graph Theory

  一个（无向）图$\mathcal{G}$包含顶点$\mathcal{V}$和边$\varepsilon$，其中边是$\mathcal{G}$中无序的不同顶点对。如果$x,y\in\mathcal{V}$并且$(x,y)\in\varepsilon$，这是可以称$x$，$y$相邻，或者为邻居，并可以使用符号$x\sim y$表示。每个顶点的邻居的个数数即为其度数。 从顶点$x$到顶点$y$的长度为$r$的路径是一系列$r +1$个不同的顶点，这些顶点以$x$开头，以$y$结束，依次连接相邻的顶点。 如果图$\mathcal{G}$的任意两个顶点之间有一条路径，则称G已连接。

  （无向）图G的邻接矩阵$A(\mathcal{G})=[a_{ij}]$是一个对称矩阵，其中行和列由$\mathcal{G}$的顶点索引，因此如果顶点$i$和顶点$j$是邻居，则$a_{ij} = 1$，否则$a_{ij} = 0$。 我们还假设所有$i$的$a_{ii} = 0$。 图G的度矩阵$D(\mathcal{G})$是对角矩阵，其中行和列由\mathcal{V}索引，其中$(i,i)$-项是顶点$i$的度。

  定义为的对称奇异矩阵
$L(\mathcal{G})=D(\mathcal{G})-A(\mathcal{G})$
称为$\mathcal{G}$的拉普拉斯算子。拉普拉斯算子矩阵可以表征图的许多拓扑特性。 拉普拉斯算子$L$是一个半正定矩阵，其零特征值（即其核的维数）的代数多重性等于图中连通的分量数。 与零特征值关联的$n$维特征向量是1的向量，$1_n = [1,...,1]^T$ 。 有关图论的更多信息，请参见[13]。

B. Regular Polygons

  令$d<n$为正整数，并定义$p = n / d$。 令$y_1$为单位圆上的一个点。 令$R_\alpha$为顺时针旋转角度$\alpha=2π/ p$。 广义正则多边形可以表示为${p}$由点$y_i + 1 =R_\alpha y_i$组成和或由点$i$与$i + 1$之间的边组成。

  当$d=1$时，多边形${p}$被称为普通规则多边形，并且其边缘不相交。 如果$d>1$，并且$n$和$d$为互质，则边线相交，并且多边形为星形。 如果$n$和$d$的公共因子$l>1$，则该多边形由具有${n / l}$个顶点和边缘的同一个多边形的$l$个重复图形组成。 如果$d = n$，则多边形${n / n}$对应于同一位置的所有点。 如果$d = n / 2$（$n$个偶数），则多边形由两个端点和它们之间的一条线组成，点的一端具有偶数索引，而另一端具有奇数索引。 有关正则图的更多信息，请参见[7]。

IV. PROBLEM STATEMENT

  考虑一组$n$个单位速度的平面(2维空间中的)代理(agent)。 每个代理都能够感知来自其邻居的信息。 代理$i$的邻居集，即$\mathcal{N}_i$，是代理$i$可以“看到”的代理集。 “看见”的确切含义将在后面阐明。 邻域的大小取决于传感器的特性。 代理之间的相邻关系可以通过连接图$\mathcal{G} =(\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{W})$描述。

定义1（连通图）：连通图$\mathcal{G} =(\mathcal{V},\mathcal{E},\mathcal{W})$是由以下几部分构成
1）由一组移动代理组成的一组顶点集合$(\mathcal{V}$；
2）一组边$\varepsilon = {((i,j)| i,j\in(\mathcal{V},and i〜j}$；
3）一组均为正值的，与每条边$(i,j)$相对应的边权重集合。

代理$i$的邻居可以被定义为：
${{\mathcal{N}}_{i}}\doteq \{j|i\sim j\}\subseteq \mathcal{V}\backslash \{i\}$

  令$r_i$代表代理$i$的位置，令$v_i$为其速度矢量。 每个单位速度代理的运动学公式为：
${{\dot{r}}_{i}}={{v}_{i}}$
${{\dot{v}}_{i}}={{\omega }_{i}}v_{i}^{\bot}$
${{\dot{v}}_{i}^{\bot}}=-{{\omega }_{i}}v_{i}$
  其中$v_{i}^{\bot}$是垂直于速度矢量$v_i$的单位矢量（见图1）。 正交对$\{v_i，v_{i}^{\bot}\}$形成了主体$i$的主体框架。我们用$v = [v^T_1,...,v^T_n]^T\in\mathbb{R}^{2n×1}$表示所有速度的叠加矢量。

  每个代理的控制输入是角速度$ω_i$。由于假定代理以恒定的单位速度移动，因此施加到每个代理的力必须垂直于其速度矢量，即，作用在每个代理上的力是陀螺力，并且它不会改变其速度（因此，它的动能）。因此，$ω_i$充当每个代理的转向控制[16]。

  让我们正式定义我们要考虑的编队形式。

定义2（平行形式）：所有代理的航向相同且速度矢量对齐的配置称为平行形式。

  请注意，在此定义中，我们不考虑达成一致的速度的价值，而仅考虑达成一致的事实。在平衡状态下，代理的相对距离决定了队形的形状。另一个有趣的编队队形是平衡的圆形编队。

定义3（平衡圆形结构）：代理沿着相同的圆形轨迹移动并且代理的几何中心固定的配置称为平衡圆形结构。这种形状可以由适当的规则多边形表示。

  在以下各节中，我们将研究每个编队并设计其相应的分布式控制法则。

V. PARALLEL FORMATIONS

  我们在本节中的目标是为每个代理设计一个控制法则，以使移动代理的航向达到一致，即，它们的速度矢量对齐，从而形成类似蜂群的模式。 对于任意连通性图$\mathcal{G}$，请考虑拉普拉斯矩阵$L$。因此，我们按以下方法定义未对准的度量[27]，[35]：
$\omega (v)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i\tilde{\ }j}{|{{v}_{i}}-}{{v}_{j}}{{|}^{2}}=\frac{1}{2}\left\langle v,\bar{L}v \right\rangle \tag{2}$
其中累加的是所有的$(i,j)\in\omega$，$\bar{L}=L\bigotimes I_2 \in \mathbb{R}^{2n×2n}$，$I_2$是2x2的单位矩阵。则$\omega(v)$关于时间的导数为：

$\dot{\omega }(v)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left\langle {{{\dot{v}}}_{i}},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\dot{\omega }}}_{i}}\left\langle \dot{v}_{i}^{\bot},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle }$

其中${{(\bar{L}v)}_{i}}\in \mathbb{R}^{2}$是与第$i$个代理相关联的$\bar{L}v$的子向量。 因此，以下面的梯度下降控制规则保证了$\omega (v)$单调递减：

${{\omega }_{i}}=k\left\langle v_{i}^{\bot},{{(\bar{L}v)}_{i}} \right\rangle =-k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\left\langle v_{i}^{\bot},{{v}_{ij}} \right\rangle }$
其中$k<0$是已知的，$v_{ij}=v_i-v_j$。

备注1： 令$\theta_i$表示在固定世界座标系中测得的代理$i$的航向（见图1）。 单位速度矢量$v_i$及其正交矢量$v^⊥_i$由$v_i = [cosθ_i,sinθ_i]^T$和$v^⊥_i = [-sinθ_i,cosθ_i]^T$给出。 因此，控制输入（3）变为

${{\omega }_{i}}=\begin{matrix} k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\sin ({{\theta }_{i}}-{{\theta }_{j}})} & k<0 \\ \end{matrix} \tag{4}$

图1.每个代理的轨迹由平面Frenet框架表示。

  值得注意的是，所提出的控制器是用于耦合非线性振荡器的Kuramoto模型控制器，该控制器已在数学物理学以及控制界中进行了广泛的研究[15]，[19]，[36]。相同的模型也已经用于循环机器人系统的相位调节[18]。

  我们有以下定理[27]，提供了获得平行形式的充分条件。

定理1： 考虑一个具有动力学的$n$个单位速度智能体的系统（1）。如果基础连通性图保持固定和连接，则通过应用控制输入（4），系统收敛到$ω= [ω_1,···,ω_n]^T = 0$的平衡点。此外，如果$θ_i∈(-π/ 2，π/ 2)$，则速度共识集在局部有吸引力。 。

证明1：证明[27]。

  速度共识集是所有主体具有相同速度向量的状态集，它对应于定义2中定义的平行形式的队形。请注意，$θ_i∈（-π/ 2，π/ 2）∀i = {1,... ,n}$是将初始航向限制为半圆的充分条件。结果可以扩展到switching topology,，如[27]所示。