小白學並查集（帶製作）

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• 首先什麼是並查集？

並查集，在一些有N個元素的集合應用問題中，我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合，然後按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併，其間要反覆查找一個元素在哪個集合中。這一類問題近幾年來反覆出現在信息學的國際國內賽題中，其特點是看似並不複雜，但數據量極大，若用正常的數據結構來描述的話，往往在空間上過大，計算機無法承受;即使在空間上勉強通過，運行的時間複雜度也極高，根本就不可能在比賽規定的運行時間(1~3秒)內計算出試題需要的結果，只能用並查集來描述。
(摘自百度)

• 是不是覺得很難很抽象？菜雞一開始也這麼覺得，其實看看標程，自己琢磨一下就懂了。
  例題來自 寧波工程學院2020新生校賽（重現賽） L 小梁的道館

  • 題目描述：
    小梁變強之後決定建設自己的道館，她特別喜歡去其他的道館串門。但是有些道館之間沒有道路連通，於是小梁想知道自己能不能去她想去的 道館。你能幫她寫一個程序來查詢兩個道館之間是否互相存在道路聯通嗎？如果存在輸出“YES”，反之輸出“NO”。

  • 輸入描述:
    第一行爲三個整數N爲道館個數，M爲線路條數，T爲查詢次數。$(1 \leq N<1000,1 \leq M<1000, 1 \leq T<10000)$

    第二行至第M+1行，每行兩個整數，代表兩個道館的編號$a,b(1 \leq a \leq 1000,1 \leq b \leq 1000)$，表示這兩個道館之間有道路相連。

    第M+2行至第$M \text{+} T+2$行，每行兩個整數，代表查詢這兩個道館。

  • 輸出描述:
    T行，每行對應一個查詢，假如查詢的道館之間可以連接則輸出YES，否則則輸出NO。

1. 好，我們現在來看這道題。道館可以比作一個個點，一共有N個點。然後給出M條線路，再讓你查詢T次。
2. 一開始我怎麼想的呢，我想把每次輸入的數變成一個列表，排個序，存在另一個大列表裏，然後查找時，看看輸入在不在大列表裏。（python實現）
3. 但其實這麼想是錯誤的。因爲如果輸入的是
   $1 \ 2$
   $2 \ 3$
   那麼就不知道1和3其實也連起來了，只知道1和2連起來，2和3連起來了。
   所以這該怎麼實現啊？
4. 爲了方便起見，我們舉個栗子：
   假設 N=6 然後M=5，線路條數分別是：

3 1
2 1
4 6
5 6
1 4

ok,是這個樣子的。這個其實對應了第一步（預處理），就是將數組的每個數的值都賦上下標的值。（就是圈圈裏填上數字）
好，接下來我們執行我們的3 1操作。

可以看到我故意 讓第一個數指向了第二個數，好，我們暫且讓$1$成爲父節點，$3$成爲子節點，可以理解爲
$（先輸入）子節點—>（後輸入）父節點$
好，我們繼續

OK，可以看到$2$ 也是 $1$的小弟（子節點）了。
接下來就是$4$ 和 $5$ 認 $6$做大哥（父節點）了。

到了比較關鍵步驟了 $2—>4$

好了，圖到這裏畫完了 。看這張圖，我們知道 $2\ 4$是相連的，但是，其實$1\ 6$ 、$3\ 5$ 都是相連的啊，看這張圖的箭頭我走不過去啊！！
到了關鍵步驟了！！：核心思想：找老大（父節點）

• $2\ 4$在外面可都是小弟啊！怎麼辦？回去找老大唄！

• $2$的老大是$1$，$4$的老大是$6$，$2—>4$ 說明 $2$ 的老大臣服於 $4$ 的老大了，所以其實就相當於$1—>6$

• 所以真正的圖是這樣的：
  
  解讀一下核心思想：找老大（父節點），我們就可以做題啦！

  其實判斷兩個數是否相連，其實就是看他們的父節點是否一致
  舉個栗子：判斷$3\ 4$ 是否連通？
  先看$3$：$3$到父節點的路徑爲
  $3—>1—>6$
  再看$4$：$4$到父節點的路徑爲
  $4—>6$
  不難看出，他們兩個的父節點相同，所以他倆連通。

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思想我們明白了，那麼如何代碼實現呢？

• 首先我們定義個數組

fa[1001]

• 預處理（前面說過的）

 for(int i = 1;i <= n; i++) fa[i] = i;

• 接下來輸入兩個數

scanf("%d %d", &a, &b);

• 接下來讓這兩個小弟找老大！
  這裏就牽扯到了find函數

int find(int x) {
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

找老大的過程像是遞歸，沒錯，就是遞歸思想實現！

• 如果還是自己本身的值，有兩種可能：

1. 個人練習生 （沒有老大，之前還沒被利用）。
2. 是最終boss（目前的父節點，如上面例子的最終圖中的$6$）

• 不是自己本身的值：

  說明已經在連線中了，用遞歸不斷調用find函數，來找到父節點，如果遞歸中碰到了那個 函數值和下標相等的點，那就是父節點，跳出即可。

• 可能要問了 ，怎麼遞歸啊，怎麼賦值啊？
  找到兩個的父節點，讓fa[左父節點]=右父節點即可,有點數組鏈表的意思。

	u = find(a); v = find(b);
	fa[u] = v;

如果暈乎的話，菜雞再舉個栗子：
比如 上面我舉的栗子中 ：

1. 輸入 $3\ 1$ ： $3$用find一找發現 $3$就是 $3$的老大， $1$用find一找發現 $1$是 $1$的老大。
   所以fa[3]=1
2. 輸入 $2\ 4$ ：我們從前面知道fa[2]=1，開始找$2$的父節點，先發現fa[2]!=2，執行else,開始找fa[2]（也就是1）的父節點，發現fa[1]=1，那麼就return 1回到上一層，fa[2]=1，那麼就最終return 1。 $4$同理。

• 最終一步，輸入T，有T次查找，前面說了，看兩個數是否連通，就是看兩個數父節點是否相同。所以：

scanf("%d %d", &a, &b);
u = find(a); v = find(b);
if(u == v) puts("YES");
else puts("NO");

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好啦，介紹完成！
完整代碼如下，可以邊看代碼邊debug縷一縷思路哦！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, t, a, b, u, v;
int fa[1005];

int find(int x) {
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &t);
    for(int i = 1;i <= n; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1;i <= m; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        u = find(a); v = find(b);
        fa[u] = v;
    }
    while(t--) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        u = find(a); v = find(b);
        if(u == v) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
}

完結。
困死了~~