一、最大匹配
//之前學完二分圖判定匹配就溜了。。。
定義：給定一個二分圖G，在G的一個子圖M中， M的邊集{E}中的任意兩條邊都不交匯於同一個結點，則稱M是一個匹配。選擇邊數最大的子圖稱爲最大匹配問題
算法：即匈牙利算法，匈牙利算法是用來求二分圖的最大匹配的，它的核心問題就是找增廣路徑。匈牙利算法的時間複雜度爲O(VE)，其中V爲二分圖左邊的頂點數，E爲二分圖中邊的數目。
匈牙利算法詳解：
1、趣寫算法系列之–匈牙利算法
2、匈牙利算法 + 代碼理解
//差不多安難度排序
題目1：https://vjudge.net/problem/HDU-2063-過山車 (模板題)
題目2：https://vjudge.net/problem/HDU-3829-Cat VS Dog
題目3：https://vjudge.net/problem/HDU-4185-Oil Skimming
題目4：https://vjudge.net/problem/HDU-1281-棋盤遊戲（最開始完全沒想到和匹配有什麼關係hhh and 讓我想到了n皇后）
題目5：https://vjudge.net/problem/HDU-1045（猜一下它的建圖和例3像還是和例4像(ﾟ∀ﾟ〃) ）
二、最小點覆蓋
定義：假如選了一個點就相當於覆蓋了以它爲端點的所有邊。最小頂點覆蓋就是選擇最少的點來覆蓋所有的邊。
定理：最小頂點覆蓋等於二分圖的最大匹配。
求最小點覆蓋：從右邊所有沒有匹配過的點出發，按照增廣路的“交替出現”的要求DFS。最終右邊沒有訪問過的點和左邊訪問過的點組成最小點覆蓋。
題目1：http://poj.org/problem?id=3041
三、最大獨立集
參考博客
定義： 選出一些頂點使得這些頂點兩兩不相鄰，則這些點構成的集合稱爲獨立集。找出一個包含頂點數最多的獨立集稱爲最大獨立集。
定理：最大獨立集 = 所有頂點數 - 最小頂點覆蓋 = 所有頂點數 - 最大匹配
證明：既然知道能夠覆蓋所有邊的最小點 個數，那麼去掉這些點後就是一個獨立集
題目1：https://vjudge.net/problem/HDU-4619-Warm up 2
四、最小路徑覆蓋
參考(因爲感覺他們都解釋得很好，大部分就直接搬了嘻嘻)：
參考博客1
參考博客2
定義： 通俗點將，就是在一個有向圖中，找出最少的路徑，使得這些路徑經過了所有的點。
最小路徑覆蓋分爲最小不相交路徑覆蓋和最小可相交路徑覆蓋。
最小不相交路徑覆蓋：每一條路徑經過的頂點各不相同。如圖，其最小路徑覆蓋數爲3。即1->3>4，2，5。
最小可相交路徑覆蓋：每一條路徑經過的頂點可以相同。如果其最小路徑覆蓋數爲2。即1->3->4，2->3>5。
1、DAG的最小不相交路徑覆蓋
算法： 我們把每個點都拆成兩個點，分爲入點和出點，如果 u 到 v 有邊，那麼我們就讓 u 的出點連向 v 的入點 ， 最後跑一下最大流或者匈牙利 算出最大匹配（入點和出點間的匹配）。答案就是 點的數目 - 最大匹配數
證明：還沒有匹配時，圖中有n條路徑(長度爲0)，多一組匹配圖上就代表兩個點可以直接相連，圖中就會少一條路徑。一個點的出點可以連向很多點的出點，但匈牙利算法可以幫助我們確定連向哪個點可以獲得最大匹配。可以看例題再理解下。
題目1：https://vjudge.net/problem/HDU-1350-Taxi Cab Scheme
2、DAG的最小可相交路徑覆蓋
算法：先用floyd求出原圖的傳遞閉包，即如果a到b有路徑，那麼就加邊a->b。然後就轉化成了最小不相交路徑覆蓋問題。
證明：爲了連通兩個點，某條路徑可能經過其它路徑的中間點。比如1->3->4，2->4->5。但是如果兩個點a和b是連通的，只不過中間需要經過其它的點，那麼可以在這兩個點之間加邊，那麼a就可以直達b，不必經過中點的，那麼就轉化成了最小不相交路徑覆蓋。
二分圖判定
判斷二分圖一般用——染色法：
1、任選一個點進行染色，並從這個點開始dfs；
2、與這個點相鄰的點：(1)若還未染色，則標記爲另一種顏色；(2)若已染色且顏色與當前點相同，則返回失敗；(3)若已染色且顏色與當前點不同，則跳過此點
（ 已被染色的點之前dfs過了）。
由染色法的過程可以得到一個定理：若一個無向圖中有奇數環，那麼它一定不是二分圖，反之成立。
注：
若一個無向圖中有奇數環，那麼會出現染色相鄰的情況。
奇數環：一個環中有奇數個點；