这一章，我们将介绍Hardmard矩阵作为组合矩阵的一个例子的3个方面：
- 什么是Hardmard矩阵？
- Hardmard矩阵的一些性质
- n阶Hardmard矩阵的存在性
1.什么是Hardmard矩阵
这是什么意思呢，翻译过来就是如果一个矩阵同行的内积（自己的平方和）为m，而不同行的内积为0（正交），则这个矩阵就是H矩阵。
那么这种矩阵有没有更加规范的统一的标准呢？有的，这种矩阵叫做正规化矩阵。
为什么会有定义7.2.2和命题7.2.1呢？其实我们还是知道所谓的行列变换就是左乘右乘一个矩阵，如果这个矩阵的元素只有0，+1，-1，则变换后仍然会是H矩阵。（为什么？因为就像刚才说的，自己的平方和不会因为±1而变化），下面给出证明：
2. n阶Hardmard矩阵的存在性
是不是所有阶的H矩阵都存在呢？并不是，尤其是连3阶H矩阵都不存在，这让H矩阵的阶的范围大大缩小。
因此，只能保守的有以下命题（注意不是定理），作为m阶H矩阵存在的必要条件，并给出证明：
2.2 直积构造更高级的H矩阵
这里介绍一种构造更高级的H方阵的方法——直积：
具体方法就是将B乘到A的每个元素上。
为啥这样可以呢？下面给出定理：
在证明这个定理之前，我们要知道，H矩阵也是矩阵，因此它也满足矩阵的运算方法：
然后我们再给出证明：
3. Hardmard矩阵的一些性质
3.1 预备知识（有限域）
我们首先准备一些知识，可以使得下面的证明更加容易。
特征P和X(x)的特征是不一样的，后者称为一种映射更为适合。这里还是有一个预备知识，那就是有限域的x为平方数和非平方数的数量一致。
因此有下面的引理：
下面给出证明：
这样，就可以推出以下的内容：
下面介绍另一个引理，并给出证明：
这两个引理好像没啥用，但是在接下里的定理都有直接或者间接的使用。这和我们写代码是一样的，提前造好轮子，方便后来的使用。正所谓，若要善其事，必先利其器。
3.2 q阶矩阵的q为除4余3构造H矩阵
这里介绍一个特定的q阶矩阵（这个矩阵），构造出一个q+1阶（除4余0）的H阶矩阵。
这里会有神奇的Q矩阵，注意这里的Q矩阵是之前引理里的Q矩阵，它具备一定的性质的，因此才能得出上图的式子，下面给出证明：
上面H这种特殊的矩阵，被称为是I型的矩阵，下面给出定义：
3.3若h阶H矩阵存在时（h为偶数），如果q为除4余1，则存在hq阶的H矩阵
同样的，在介绍这个定理的时候，我们先介绍两个引理：
这两个引理的证明比较简单，7.2.3就将K带入，并利用矩阵的运算法则进行运算即可；7.2.4的证明方法与定理7.2.2类似，因此我们不进行证明了。我们来看要证明的定理：
下面给出证明：
3.4由n阶的I型的H矩阵构造出n(n-1)阶H矩阵和n(n+3)矩阵
同样的，我们首先给出4个引理，证明我们这里省去。
最后这一个不得不提一下，因为它也是一个构造高阶矩阵的方法，下面给出证明：
下面我们给出定理及其证明：
3.5 和2个n阶H矩阵相关的定理
上面都是介绍一个n阶H矩阵推出高阶矩阵的方法，下面介绍2个和两个n阶H矩阵相关的定理。
下面给出证明：
下面给出证明：
4. 小结
本章主要介绍和Hardmard矩阵（哈达玛矩阵）的一些相关的定义、性质以及构造高阶哈达玛矩阵的方法。值得注意的是，我们所有的构造高阶的哈达玛矩阵的方法有两种，一种是像直积这样，使用运算直接得出，另一种则蕴含在证明之中，使用的是已知矩阵构造而出的，需要多加注意。