在系統分析中，會涉及到多項式矩陣互質性的判別問題，此類問題通常歸結爲兩種
1）具有相同行數的多項式左互質； 2）具有相同列數的多項式右互質；
一、多項式矩陣的右公因子（左公因子）的定義：
二、多項式矩陣的最大右公因子（最大左公因子）的定義：
首先這個公因子要滿足（定義1）所描述的，其次若滿足以下條件則說明此多項式矩陣R(λ)爲最大右（左）公平因子；
三、gcrd構造定理：（用於求解兩個多項式矩陣的最大右公因子）
簡單的說明就是將帶求兩個矩陣堆疊，進行初等行變換，最後劃歸的非零部分就是兩個多項式矩陣的最大右公因子；
四、gcrd的基本性質：
1）不唯一性：若R(λ)爲具有相同列數p的兩個多項式矩陣D(λ)和N(λ)的一個gcrd，而W(λ)爲任意p階單模矩陣，
則W(λ)R(λ)也是D(λ)和N(λ)的一個gcrd；【乘以一個單模矩陣後仍爲gcrd】
2）R1(λ)和R2(λ)是多項式矩陣D(λ)和N(λ)的gcrd，則當R1(λ)爲滿秩矩陣（單模矩陣）時，R2(λ)也爲滿秩矩陣（單模矩陣）；
【說明不同gcrd的秩是相同的】
3）對於給定的n*n和m*n的多項式矩陣D(λ)和N(λ)，則當其組合和矩陣爲列滿秩時，其所有的gcrd也必定列滿秩；
4）如果R(λ)是n*n和m*n的多項式矩陣D(λ)和N(λ)的一個gcrd，則R(λ)可以表示爲：
R(λ)=X(λ)D(λ)+Y(λ)N(λ) 的形式，其中X(λ)和Y(λ)分別爲n*n和n*m的矩陣；
五、右（左）互質的概念：
定義：兩個具有相同列數的多項式矩陣D(λ)和N(λ)，如果其最大右公因子是單模矩陣，則稱其爲右互質的。
結合上述右互質的性質，得出X(λ)D(λ)+Y(λ)N(λ)=E則兩多項式右互質；相應的也可以定義左互質的概念；
除此之外，右互質的充要條件是這兩個多項式矩陣堆疊而成的矩陣其史密斯標準型爲單位陣【E 0】;
六、既約性問題：
這裏的deg是求 對應多項式的最高次數，第一個是求每一行的最高項次數，第二個是求每一列的最高項次數；
舉個例子：（如下圖所示）
列既約與行既約的定義：（這裏的 deg|M(λ)| 爲所求行列式的最高次數項）
通過上述定義既可以判斷一個多項式矩陣是行既約還是列既約；
七、舒爾定理：對於矩陣A存在一個酉矩陣U使得U^H A U=T，這裏的T爲上三角矩陣，其對角元爲A的特徵值；
（對於任意一個矩陣A存在一個酉矩陣U使得U^H A U=T，T爲上三角矩陣，當A爲正規陣時，T爲對角矩陣）
QR分解定理：A爲n階複數矩陣，則存在酉矩陣Q以及上三角矩陣R使得A=QR；（QR分解可以用來求解矩陣的
特徵值，以及求解線性方程組）