我猜你不懂矩陣分析？？？機器人控制、SLAM先導知識 ——（1.1）線性空間

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1.1、線性空間

給定非空集合$V$和域$\Bbb{F}$，若存在映射$\sigma$：$V×V→V$、$(V_1,V_2)\mapsto\sigma（V_1,V_2)$則稱$\sigma$爲$V$上的加法。

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1.1.1 域

域： 有+，-，×，÷的一個運算系統。

那麼什麼不是域呢？
$Z_+ = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$這就不是個域，因爲不存在除法、減法的運算，0-1不再$Z_+$的集合內了。
$Z=\{0, ±1, ±2, ...\}$這也不是個域，因爲不存在除法的運算。
關於一個運算是否封閉是一個很重要的問題。

那有理數（rational number，兩個整數的比）集呢？ 當然是！所以成爲有理數域。故可以寫做$\Bbb{Q}$ —— 這種叫黑板體，表示一個域的時候這樣寫。當然還有實數（Real Number）域$\Bbb{R}$和複數（Complex Number）域$\Bbb{C}$。

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1.1.2 卡氏積

×：集合的卡氏積（Cartesian Product）

$S_1×S_2=\{ \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \end{bmatrix}|s_1\in{S_1},s_2\in{S_2}\}$
就是形成的元素對。可以通過 把平面和座標軸的軸線的關係聯繫起來 通過卡氏積來理解。

加法理解爲映射（二元函數）$\sigma：V×V\to V$，任意抽取兩個值進行加法運算，應當理解爲從$V$的卡氏積裏抽取一個“對”，是有順序的。$\Bbb R^2 \to \Bbb R$

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1.1.3 $\mapsto$

$\mapsto$： 需要注意$\to$和$\mapsto$的區別，第二個座標多了一道；用法上：
$A\to B$$a\mapsto b$
這就能看出區別，兩者都代表映射關係，$\to$兩邊都是集合，$\mapsto$兩邊都是集合裏的元素。

舉例：函數$sinx$是一個映射，我們這裏使用定義域$(-\infty,\infty)$到值域$[-1,1]$的映射。那麼π到0的映射就能寫成 π $\mapsto$ 0。

我們需要把固有的概念改變一下，把加法看做二元映射，

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1.1.4 線性空間

上面都是先導知識，那麼設$V$是一個非空集合，$\Bbb{P}$是一個數域，在$V$上定義了一種代數運算，記爲“$+$”；定義了$\Bbb{P}$與$V$到$V$的一種代數運算，成爲數量乘法（簡稱數乘），記爲“$\cdot$”，如果滿足“通常的運算規則”，則稱集合$V$爲數域$\Bbb{P}$上的線性空間。

通常的運算規則：
熟知的加法交換律，結合律，分配率，有零元，有負元等等。

解釋一下有零元，就是“存在$e\in{V}$，滿足$e+v=v$”。其實就是零和任意元素相加都是該元素本身。這裏是抽象的概念。
那麼有負元，就是“對任意$v\in{V}$存在$a\in{V}$使$v+a=e$，$e$是零元，稱作$a=-v$”。

對於數乘：

1. $(v_1+v_2)·k=v_1·k+v_2·k$，這裏的加法都是向量的加法；
2. $v·(k_1+k_2)=v·k_1+v·k_2$，這裏前者加法是兩個數字相加，後者是向量的加法；
3. $v·(k·l)=(v·k)·l$，這裏有四個乘，第一個、第三個、第四個是數乘；第二個是數字的乘法。

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爲什麼做數乘時把數放在向量右邊？？

若向量爲列向量，數乘法的數寫在右側，若向量爲行向量，數乘法的數寫在左側。
原因：$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\3\\ \end{bmatrix}·2=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\\6 \\ \end{bmatrix}$可以看做一個$[3,1]$和$[1,1]$的矩陣相乘。

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$F(I,\Bbb R^n)$函數空間，$I$是一個區間，$\Bbb R^n$是n個分量的域。例如：$F([0,1],\Bbb R^2)$，元素爲$f=\begin{bmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{bmatrix}$，這裏的$f_1(x)$和$f_2(x)$均是定義域爲$[0.1]$的兩個分量，函數空間囊括瞭如$f$一樣的含有多個分量的在$I$區間下的函數元素。
$f=\begin{bmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\\...\\ f_n(x)\end{bmatrix}$這就是$F(I,\Bbb R^n)$函數空間中的函數元素，是在$I$區間下的。

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定義（向量組及向量組拼成的抽象矩陣）
設$V$是$\Bbb F$上的線性空間，$V$中的有限序列$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$稱爲$V$中的一個向量組，向量組按順序排成的行稱爲向量組拼成的抽象矩陣。
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_n \end{bmatrix}$

線性空間的目的是：將空間（笛卡爾座標系）解析幾何的方法抽象到一般線性空間裏。

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1.1.5 線性空間的相關性

• 向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$稱爲線性相關，如果存在不全爲零的$p$個數 $k_i\in\Bbb F,i=1,...,p$，使得$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p=0$
• 向量組 $\alpha_1,...,\alpha_p$稱爲線性無關，如果它不是線性相關的

線性相關：

$\exists{\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}}\not=0,\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}\in\Bbb F^p,\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p=0$
注：$(\exists a)P(a)$ 的否定爲 $\forall a\overline{P(a)}$ 就是對任意的$a$都不具有$P(a)$的性質。

線性無關：

$\forall{\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}}\not=0,\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}\in\Bbb F^p,\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p\not=0$這裏的0是線性空間中的0向量不是數域的0。

（逆否命題） 若$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p\not=0$，則$k_i=0$。

（線性相關性的矩陣描述）
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_p\end{bmatrix}=0$這是一個齊次方程組。
若線性相關則這個方程組有非零解；若線性無關則這個方程組只有零解。

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兩個向量組之間的線性表示：

$\alpha_1,...,\alpha_p$；$\beta_1,...,\beta_q$；$\beta$

• 稱 $\beta$ 可由 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 線性表示。
  如果在 $k_1,...,k_p\in\Bbb F$，使得 $\beta=\alpha_1k_1+....+\alpha_pk_p$。

• 稱 $\beta_1,...,\beta_q$ 可由$\alpha_1,...,\alpha_p$線性表示。
  如果每個$\beta_i$都能由$\alpha_1,...,\alpha_p$線性表示。

（矩陣表達）
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_p\end{bmatrix}=\beta$
$\beta$可由{$\alpha_i$}線性表示，這是一個非齊次線性方程組。
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&...&x_{1q}\\x_{21}&x_{22}&...&x_{2q}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{p1}&x_{p2}&...&x_{pq}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&...&\beta_q\end{bmatrix}$
$AX=B（矩陣方程有解）$
線性表示是具有傳遞性的。

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1.1.6 向量組的極大線性子組

向量組的極大線性子組：

從母序列中挑出一個子序列構成向量組，這個子序列構成的向量組爲原來母序列的子組。

子組 $\beta_1,...,\beta_s$ 稱爲 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 的極大線性子組，若：

• $\{\beta_j\}$ 線性無關；
• 若 $\{\gamma_k\}=\gamma_1,...,\gamma_t$ 也是 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 的子組，$s<t$ ，則 $\{\gamma_k\}$ 線性相關。就意味着在線性無關的範圍內，$\{\beta_j\}$ 已經是最大的向量空間了。

極大性： $\forall\alpha_i\in\{\alpha_1,...,\alpha_p\}，\alpha_i$都可由$\{\beta_j\}$ 線性表示。（生成性）

母組可由極大線性子組線性表示。

向量組的極大線性無關組中向量的個數稱爲向量組的秩。

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1.1.7 基與座標

定義（有限維線性空間、基、座標）

$V$是數域$\Bbb F$上的線性空間，如果有正整數$n$，即$V$中的向量組 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 使得：

• （無關性） $\{\alpha_i\}$ 線性無關；
• （生成性）$\forall\alpha\in V$ ，均可由$\{\alpha_i\}$線性表示
  $\alpha=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_nk_n=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{bmatrix}$則稱$V$是 $n$-維線性空間。

  • 線性空間的維數是唯一的。

  • $\{\alpha_i\}$成爲$V$的一個基（座標系）。

  • $\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{bmatrix}\in\Bbb F^n$ 稱爲 $\alpha\in V$沿着該基的座標向量。

    [抽象向量] = [基矩陣] [座標向量]

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1.1.8 基實現抽象線性空間到標準線性空間之間的一一對應

$\sigma:S_1\to S_2$$\forall s_2\in S_2，\exists s_1 \in S_1$ $\sigma(s_1)=s_2$對任意 (Arbitrary) 的$s_2$屬於$S_2$，存在$s_1$屬於$S_1$，使得$s_1$的項就是$s_2$。這稱作 滿射(surjection)。
若$\sigma(s_1)=\sigma(s_1')$則$s_1=s_1'$，這稱作 單射(injection)。

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$\Bbb F^n$的標準基與一般基

$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\dots,e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$是$\Bbb F^n$的標準基。標準基向量拼成的基矩陣是單位矩陣。單位矩陣的列向量組是標準基向量組。

$\Bbb F^n$是標準線性空間。
如果一個向量組滿足秩和組內向量個數相等，則其向量組線性無關。（無關性）
如果$Ax=b$該方程組有解，則$Rank(A)=Rank(A|b)$，矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等，也就是方程組和未知數個數相等。

秩：行秩 = 列秩 = 秩。

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無限維空間的例

$\Bbb F[x]=\{f|f\in F(\Bbb F,\Bbb F),$ 且$f$可寫成多項式$\}$ 簡單講就是向量都是多項式，且定義域和值域都在$\Bbb F$這個數域上。

$\Bbb F_n[x]=\{$次數$<n,$ 以$\Bbb F$中數爲係數的多項式$\}$

令$\Bbb F=\Bbb R$，那麼：

• $\Bbb R_n[x]$是$n$-維的；
• $\Bbb R[x]$不是有限維的。（無限維的）

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1.1.9 子空間

定義： 設$V$是$\Bbb F$上的線性空間，$W≤V$是非空子集。若：

• 對加法封閉$\alpha、\beta\in W\implies\alpha+\beta\in W$。即在$W$中任意取兩個元素，經過加法運算還在$W$內；數乘相似
• 對數乘封閉$k\in\Bbb F,\alpha\in W\implies\alpha·k\in W$

則稱$W$是$V$的一個子空間。

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①向量組生成的子空間及子空間的生成組

（向量組生成的子空間及子空間的生成組）

$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p$ 是向量組，定義一個 $W=span\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}=\{\alpha_1c_1+\alpha_2c_2+\dots+\alpha_pc_p\}$ 是$V$的一個子空間。這就是向量組生成的子空間。

已知$W$，若有向量組 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p$ ，使得 $W=span\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}$ ，我們稱$\alpha_i$爲子空間的生成組，生成組提供了子空間的一種表現方式。

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②矩陣的核與像

（$A\in \Bbb F^{m×n}$的核與像）

矩陣的核與像。$\{x|x\in \Bbb F^n,Ax=0\}$（x$\in \Bbb F^n$的原因是$A=[a_{ij}]_{m×n}$那麼矩陣相乘就需要一個$n$行的$x$） 是 $\Bbb F^n$ 的子空間，這個子空間稱作 $A$矩陣的核。

也就是以$A$爲係數的齊次方程組的解空間。

$\{y|y \in \Bbb F^m,$存在$x\in \Bbb F^n,$使得$y=Ax\}=\{Ax|x \in \Bbb F^n\}$是 $\Bbb F^m$ 的子空間，稱作 $A$矩陣的像。

這裏的$Ax$實則是$A$的列向量組以$x$爲係數的線性組合。$A$的像就是$A$的列向量組張成的子空間。

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③子空間的交與和

設$U、W$是$V$的子空間

• $U∩W$也是子空間，稱爲$U、W$的交（子空間）；
• $U+W=Span\{U、W\}=\{U+W|u=U,w=W\}$也是子空間，稱爲$U、W$的和（子空間）。

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