欠阻尼二階系統的單位階躍響應分析

二階系統標準形式
$\Phi (s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2}$
極點爲：
$s=-\zeta \omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$
當$0<\zeta<1$時，稱爲二階欠阻尼系統。此時系統極點爲一對共軛負根
$s=-\zeta \omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$
對應的大致衝擊響應爲 具體過程暫無
$\phi(t)=e^{-at}sin(\omega t + \beta)$
可見呈阻尼震盪的運動模態

現在分析，在輸入$r(t)$爲階躍信號$\varepsilon (t)$時，二階欠阻尼系統的輸出信號$c(t)$
$\begin{aligned} C(s) &=R(s)\cdot \Phi(s) \\ &=\frac 1s \cdot \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2} \end{aligned}$
將系統傳遞函數分母配方
$\Phi (s) = \frac{\omega_n^2}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\zeta^2)}$
記$\omega_n^2(1-\zeta^2)$爲$\omega_d^2$ ，$C(s)$部分分式分解
$\frac {b_1}s+\frac{a_1s+b_2}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}+\frac{b_3}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}$
得待定係數方程
$\begin{cases} b_1 + a_1 =0 \\ 2\zeta\omega_n b_1+b_2+b_3 =0 \\ \omega_n^2 b_1 = \omega_n^2 \end{cases}$
這裏取$b_2=b_3=\zeta\omega_n$，故$C(s)$分解爲
$C(s)=\frac 1s - \frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}$
根據Laplace變換表得
$\begin{aligned} c(t)&=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cos \omega_d t-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}e^{-\zeta\omega_nt}\sin\omega_d t \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cos \omega_d t-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin\omega_d t \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}(\cos \omega_d t+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_d t) \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cdot \sqrt{1+\frac{\zeta^2}{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cdot \sqrt{\frac 1{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) \end{aligned}$

欠阻尼二階系統的單位階躍響應是穩定的，最終趨向於單位階躍信號
其中
$\beta = \arctan \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}$爲輸出相位延遲(滯後角)
$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$爲阻尼振盪頻率
$\sigma=\zeta\omega_n$衰減係數
可見，欠阻尼二階系統的單位階躍響應完全由系統參數$\zeta$和$\omega_n$決定

然後再來看系統性能指標

• 上升時間$t_r$：階躍響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。對於有振盪的系統，也可定義爲響應從0第一次上升到終值所需的時間。
  故令$c(t)=1$即
  $1-e^{-\sigma t}\sqrt{\frac 1{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) = 1 \\ \Rightarrow \sin(\omega_d t + \beta) = 0$
  解得$t= \frac{k\pi-\beta}{\omega_d}$,由於$t\ge 0$，故$t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}$

• 峯值時間$t_p$：階躍響應曲線越過穩態值達到第一個峯值所需要的時間。
  根據導數在極值點爲0可知：
  $\begin{aligned} \frac {d\ c(t)}{dt} &= \frac{\zeta \omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}e^{-\zeta \omega_n t}}\sin(\omega_dt+\beta)-\frac{\omega_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{\zeta\omega_nt}\cos(\omega_dt+\beta) \\ &=\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\zeta\omega_n\sin(\omega_dt+\beta)-\omega_d\cos(\omega_dt+\beta) ] \end{aligned}$
  令$\frac {d\ c(t)}{dt}\mid_{t=tp}=0$，即
  $\frac{e^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\zeta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\beta)-\omega_d\cos(\omega_dt_p+\beta) ] =0$
  由於$\frac{e^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\neq 0$,所以上式變爲
  $\begin{aligned} \zeta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\beta)-&\omega_d\cos(\omega_dt_p+ \beta)=0 \\ \tan(\omega_dt_p+\beta)&=\frac{\omega_d}{\zeta\omega_n} \\ \omega_dt_p+\beta = k\pi&+\arctan\frac{\omega_d}{\zeta\omega} \end{aligned}$
  帶入$\beta$和$\omega_d$的表達式，及$t_p$定義得
  $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$

• 調節時間$t_s$：階躍響應曲線達到並永遠保持在一個允許誤差範圍(誤差帶：通常取±5%或±2%)內，所需的最短時間。

• 超調量：階躍響應曲線的最大偏離量h(tp)與終值之差的百分比
  
  最大超調量在峯值時間發生，故
  $\begin{aligned} \phi(t_p)&=1-\frac 1{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt_p+\beta) \\ &=1+e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \end{aligned}$
  可知
  $\begin{aligned} \sigma_p\% &= \frac{\phi(t_p)-\phi(\infty)}{\phi(\infty)}\times 100\% \\ &=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-zeta^2}}}\times 100\% \end{aligned}$

• 穩態誤差$e_{ss}$：階躍響應曲線的實際穩態值與給定值之差
  $e_{ss}= R -C(\infty)$