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數字信號入門筆記2 —線性時不變（LTI）系統
2.1系統與線性時不變系統
在信號處理背景下，系統可以定位爲對輸入信號進行某種處理，實現某種功能的物理結構。若用x(n)表示系統的輸入，y(n)表示系統的輸出，T[.]表示系統。對x(n)施加處理，得到y(n)，輸入和輸出可以表示爲：
y(n) = T[x(n)]
一個系統任意時刻的輸出取決於本時刻的輸入，不依賴過去和將來時刻的輸入，成爲靜態系統。放大器是一個靜態系統。其他情況下，系統稱爲動態系統或有記憶系統，比如單位延時器。
2.1.1線性系統
對於一個系統T[.]，若輸入爲x1(n)時對應輸出爲y1(n)，輸入爲x2(n)時對應輸出爲y2(n)，即
y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]
滿足齊次性: T[ax1(n)] = aT[x1(n)]
滿足可加性: T[x1(n) + x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)]
上述兩式可以合併爲: T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x1(n)] + bT[x2(n)]，如果系統滿足這個式子，則爲線性系統。
2.1.2時不變系統
系統輸入與輸出關係不隨時間變化而變化，或者說系統對輸入信號的響應與加於系統的時間無關，則爲時不變系統。
y(n-k) = T[x(n-k)]
實際中，可以先輸入x(n)，計算出輸出y(n)，然後將x(n)延時k個單位時間，再計算系統輸出，如果兩次輸出序列相等，則爲時不變系統。
2.2LTI系統的時域描述
2.2.1差分方程表示
這裏我是這樣理解，當前時刻的輸出，既與當前n時刻和n時刻之前的輸入有關，也與之前的輸出有關。這裏注意聯繫後文還會提到信號與系統建的作用方式爲卷積，卷積會累加之前時刻的輸入與系統間的作用值。
2.2.2單位衝擊響應表示
單位衝擊響應是輸入信號爲單位衝擊信號ζ(n)時對應的系統輸出，常用h(n)來表示。爲什麼LTI系統可以用單位衝擊響應表示？單位衝擊響應是一類最簡單的信號，我們希望把一個複雜的信號分爲多個類似ζ(n)的簡單信號，通過考察系統對ζ(n)這樣簡單信號的輸出來認識系統的特性。下來分兩步來推導一下單位衝擊信號如何表示系統。
1.我們先將一個離散信號x(n)分解爲多個單位衝擊信號之和
x(k) = x(k)ζ(n-k) = x(n)ζ(n-k)
這樣系統在n=k時取值爲x(k)，其他均爲0，這樣反覆操作，就得到了x(n)。
ζ(n)只有在ζ(0)的時候纔有值，所以x(n)需要和ζ(n-k)即ζ(0)相乘，得到在k個點時信號用單位衝擊信號表示爲 x(n)ζ(n-k)。這樣就把一個離散信號信號分解爲多個單位衝擊信號相加：
2.將單位衝擊信號通過一個LTI系統T[.]
根據LTI系統的齊次性，相當於系統先與單位衝擊信號作用，得到一個系統的單位衝擊響應，既h(n-m)。這裏相當於x(n)與系統的單位衝擊響應h(n-m)做卷積，最終得到輸出y(n)。這樣就由單位多個單位衝擊信號疊加得到一個信號，將這個信號通過一個LTI系統，由LTI系統的齊次性，過度到了求出一個系統的單位衝擊響應，信號與這個系統的單位衝擊響應卷積得到輸出y(n)，得出結論h(n)就是系統的結論。同時h(n)本身代表系統的單位衝擊響應，這樣就講系統與系統的單位衝擊相應聯繫在了一起，他們是等效的。後文還會提到FIR和IIR兩種系統（濾波器），他們分別是單位衝擊響應長度有限和單位衝擊響應長度無限的系統。
2.3 LTI系統的特徵信號 復正弦信號
接上一節，已經得到了LTI系統的單位衝擊響應表達式，如果對其施加一個復正弦信號，結果如下：
若k=n-m
可見這裏輸入的復正弦信號可以單獨提出來，而其他部分變成了一個與x(n)無關的常數項（參考指數積分公式 ∫e^x dx = e^x+c）。換句話說就是對於不同角頻率的復正弦信號，LTI系統只相當於其乘以一個常數（對於不同的角頻率w0的信號這個常數不同），而輸出信號的頻率不變。由上推廣，對於複雜的信號，可以講複雜信號分解爲多個復正弦信號，對於不同頻率的復正弦信號，系統會輸出不同的頻率響應，這些頻率響應就可以來表徵一個系統。反過來看一下單位衝擊信號的頻譜：
這樣，對一個系統輸入一個單位衝擊響應，在頻域看相當於對其輸入了所有頻率的信號而得到的響應。這樣看時域上信號分解爲多個單位衝擊響應和頻域上信號分解爲多個復正弦信號，是等效的兩種操作。
2.4 Z變換分析LTI系統
1.Z變換的作用是方便的看出一個系統的性質，通過z變換可以在零極點圖上描述系統，方便地看出系統是否穩定（單位衝擊響應是否收斂)
2.Z變換提供了一種新的表示系統的方式，傳遞函數，只需要知道輸入與輸出序列的Z變換，就可以得到系統的傳遞函數
3.當z=e^jw 也就是在單位圓上時，這時的z變換就相當於傅里葉變換，這就是Z域與頻域的關係。
2.4.1 Z變換定義
這裏X(z)是一個無窮級數求和，x(n)的Z變換不一定總是存在。X(z)有限時，z的取值範圍成爲收斂域。下面是一些典型信號的Z變換，利用下表可以典型信號的Z變換可以方便推出常見x(n)的Z變換。
Z變換的反變換
這裏記得大學複變函數考試基本上都是做這種複平面上封閉曲線積分運算，但是完全不知道這個東西有什麼用，這裏可以看出這種計算可以把一個Z變換後的結果反推出原始的時域信號。
2.4.2傳遞函數
這裏需要先記住一個結論，兩個序列時域的卷積在Z域會變爲乘積。下面是對一個系統的輸出進行Z變換，以此來引出傳遞函數。
展開Z變換
兩個自變量變化相互獨立，可以將積分拆開，變爲兩個積分相乘
將k=n-m
最終輸出的Z變換Y(z)等於輸入x(n)的Z變換X(z)與系統h(n)的Z變換H(z)的積。這樣只要知道了系統的輸入和輸出，就可以得到系統的Z變換H(z)，經過Z反變換就可以得到h(n)，也就是系統的單位衝擊響應。
2.4.3 Z變換單位延遲與差分方程
上一節通過傳遞函數和Z反變換建立了Z變換與系統單位衝擊響應的關係，那麼Z變換和差分方程間的關係是什麼呢？
Z變換有一個移位特性
這個式子就建立了Z變換中第n個輸出與第n-1次輸出的關係。z^-1可以表示一個單位延時，有了單位延時就可以建立兩次輸出之間的關係，而差分方程同樣也是代表前後兩次間的關係。擴展到k個單位延時
這樣現在將差分方程y(n)兩邊做Z變換
差分方程的Z變換
這樣通過系統的差分方程就可以得到系統傳遞函數H(z)，進而得到h(n)。差分方程——(Z變換的單位延時)——>系統傳遞函數H(z)—(Z反變換)-—>系統單位衝擊響應h(n) 三者都可以表徵一個系統
2.4.4零極圖直觀體現系統特性
得到系統傳遞函數H(z)後，可以將其改寫爲如下形式是
滿足N(z)等於0的zk，稱爲系統的零點，滿足D(z)等於0的zk稱爲系統的極點。系統除了常數K，其他都是由零點極點決定的。由於系統函數H(z)的分子分母各項係數均爲實數，所以零極點若爲虛數或複數，則一定共軛成對出現。(這個地方沒有看懂)
從零極圖看單位衝擊響應
有這樣一個有一個實極點的系統
由Z變換表可知這個系統的單位衝擊響應爲
這是一個指數函數和一個單位階躍函數的積。隨着a的值的變化，系統的單位衝擊響應的收斂程度是不一樣的，具體如下。極點實數的情況下
下面看一下極點爲複數的情況
對應單位衝擊響應爲
h(n)的形狀主要由極點決定，零點主要影響h(n)的幅度和相位。
根據Z變換的定義
當收斂域包含|z| = 1時絕對可和，這是系統是穩定的。要保證在單位圓內收斂，需要極點都在單位圓內。(這裏需要進一步理解一下收斂域相關)下面將Z變換通過單位延時轉到差分方程，從時域輸入輸出的關係來看一下系統穩定性的解釋。
即
Y(x)/X(z) = 1/(1-2(z^-1)) —>. Y(z) = 2Y(z)(z^-1) + X(z) —> y(n)=2y(n-1)+x(n)
可以看到這個系統在Z域，極點爲實軸上的2，是不穩定的。從差分方程上看，每次的輸入等於本次的輸入加上上一次輸出的2倍，這樣會不斷方法輸入，所以會不斷髮散，系統不穩定。
2.5系統的頻率響應
前面提到了LTI系統的特徵值是復正弦信號，最終輸出y(n)等於λ乘以復正弦輸入信號，λ爲
這裏是不是和Z變換的定義有些相似？一般將頻率響應寫爲更一般的式子：
這裏就是計算系統h(n)頻率響應的公式，也就是對h(n)做離散時間傅里葉變換(DTFT)。注意這裏的n是從0~無窮的，也就是h(n)是一個無窮的序列，針對這種序列的傅里葉變換是離散時間傅里葉變換(DTFT)，要區別於在實際工程中更常見的離散傅里葉變換(DFT)。可見這裏就是把z換成了e^jw，也就是說頻率響應就是z變換H(z)在單位圓z=e^jw處的取值。由傅里葉變換得到頻率響應有着明確的物理意義，但是傅里葉變換收斂條件苛刻，時域內絕對可和傅里葉變換才存在，這樣導致有些信號傅里葉變換不存在。對於這種情況，拉普拉斯變換先爲信號乘一個e^-σt，這樣使得信號快速衰減，之後再做傅里葉變換。Z變換相當於離散域中的拉普拉斯變換，z與s的關係爲z=e^s*Ts，Ts爲採樣週期。頻率響應得到的結果一般用複數表示
也可以用幅度相位表示
|H(e^jw)|稱爲幅頻響應，表示頻率與幅度的關係。對於某些系統，在某些有些頻率的信號會被抑制，表徵了系統對頻率的選擇性。
幅頻響應是帶有周期性的，因爲e^jw是週期旋轉的，週期爲2Pi。對於實係數的h(n)，幅頻響應都具有偶對稱的特點，即|H(e^jw)| = |H(e^-jw)|。（是不是因爲只有實部，這樣從0~Pi和從Pi~2Pi旋轉時投射到實部的長度對稱）工程中幅頻響應常以db作爲單位。
ψ(w)稱爲相頻響應，也就是傳遞函數實部虛部間夾角。相頻響應代表了輸出對於相位的移動，對於不同頻率的信號通過系統的時間是不一樣的。另外注意的一點是輸出的相位是模糊的，假如輸入相位差是Pi/4，其實真實值有可能是Pi/4 + 2Pi*n的任何值。
2.5.1 羣延時
直觀理解爲w頻率附近相頻響應的變化率(相位變化隨頻率變化的快慢)，由於是w頻率附近頻率，所以稱爲”羣”。如果系統對各個頻率分量有相同的延時，信號經過該系統後波形與原先一樣，有一定的延時。反之如果系統對不同頻率延時不同，則經過系統輸出的信號將發生形變。
相頻響應反應系統對輸入信號延時的相對值，羣延時反應系統對輸入信號延時的絕對值。(如何進一步解釋)如果羣延時爲常數，即ψ(w)=-wn，稱這樣的系統爲線性相位。
2.6 向量的角度分析LTI系統
這裏需要將傳遞函數由上文提到的零極點形式做變換，每項變爲零極點到單位圓的向量。如下圖，向量OE代表e^jw，也就是複平面上的單位圓，A、B爲系統的兩個零點，C、D爲系統兩個極點，分別可以用向量OA、OB和OC、OD表示。這樣可以根據向量運算求出這些點到單位圓間的向量。
那麼這些向量代表什麼呢？如何與前面說的頻率響應還有Z變換相關聯呢？下面回顧下Z變換傳遞函數
2.6.1零極點形式
變換爲向量形式，即零點極點到z的距離，對於頻率響應而言就是零點極點到單位圓的向量的乘積。
將Z變換在單位圓上取值，代換爲頻率響應
可見這裏每個相乘項都變成了單位圓與零點pk和極點zk的向量之差。在看本小節開頭的圖，對應上式，以A點舉例，e^jw-zk就相當於向量AE，由於e^jw是繞着單位圓旋轉，這個是以A點固定，繞單位圓旋轉，用公式可以表示爲
這樣重新代換一下頻率響應的公式，將每項代換成向量
得到幅頻響應與相頻響應分別如下
利用向量可以直觀看出零極點位置對於頻率響應的影響。幅頻響應可以看作是零點到單位圓的向量積與極點到單位圓向量積的比值( (z-zk) (z-pk) 都可以看作是向量)。相頻響應可以表示爲 (極點個數M-零點個數N)*w+所有零點角度的和-所有極點角度的和下面看一個簡單系統傳函，體會一下頻率響應與極點關係。
將z代換爲e^jw，也就是繞單位圓轉，而0.9這個點與單位圓向量的倒數，就是撫平相應。這裏取0，Pi/4，Pi/2，3Pi/4，Pi等三個特殊值。
上圖可以得到以下幾個結論:越靠近極點，分母越小，倒數越大，幅頻響應變化越快。a圖上看如果逆時針旋轉，超過Pi後，幅頻響應對稱變小，b圖上來及看就是關於0對稱。
2.7 兩種特殊LTI系統
下面簡單總結一下全通系統和最小相位系統。
2.7.1全通系統
全通系統是系統頻率響應對所有頻率w均爲常數。最簡單的全通系統爲h(n)=δ(n-n0)，傳遞函數爲H(z)=z^-n0。傳遞函數極點爲0，這樣極點到單位圓距離均爲1，這樣的極點對幅頻響應沒有影響。在實際系統中，如果想讓一個系統變爲全通系統，可以增加零點使之抵消掉所有的極點。實際生產中，經過一個系統可能導致相位失真，這時就需要一個幅度不變，可以調整相位的系統，將失真的相位補回來，這時就需要一個全通系統來做。假定一個系統，係數相同但排列順序相反
可以寫成
由上面兩式，如果Pk爲系統的極點，那麼1/Pk則爲系統的零點，即零點極點關於單位圓共軛倒置，這裏我理解就是在複平面上互爲倒數。這樣互爲共軛倒置的零極點就可以相互抵消。這樣把z代換，系統頻率響應爲(這個計算是怎麼來的？爲什麼平方？)
下面具體看一下零極點互爲共軛倒置爲什麼可以相互抵消。這兩張圖可以代表全通系統零極點分佈的情況，a圖就是零極點互爲倒數的情況，b爲零極點互爲共軛複數的情況。這裏V1和U1並不相等。A中系統傳遞函數爲
爲了用向量分析頻率響應，將上式改寫爲
2.7.2最小相位系統
羣延時表徵了系統對輸入信號的延時。就像去買火車票，誰都希望去售票廳就能拿到票，而不希望排半天隊，反應在相位響應上就是希望相位響應的變化越小越好。這樣的系統稱爲最小相位系統。從零極點來看，就是所有零點都處於單位圓內的系統。爲什麼是零點都在單位圓內就可以呢，這裏需要看一下零點對系統的影響。
對於圖a的系統
用向量分析頻率響應，變換爲如下
根據上文從向量的觀點看頻率響應得出的結論，相頻響應爲 (極點個數M-零點個數N)*w+所有零點角度的和-所有極點角度的和。對於在單位圓內的b，w轉一圈，單位圓內零點相位變化爲2Pi，單位圓外零點導致相位變化爲0。z^-1對系統影響爲-2Pi，這樣單位圓內零點導致的相位變化爲0。對於更一般的情況，系統由M個極點和N個零點，對於穩定系統，所有極點都在單位圓內。n1個零點在單位圓內，n2個零點在單位圓內，