二叉堆詳解 及 C代碼實現

二叉堆

[注] 本文以小根堆爲演示

存儲

二叉堆，本質上是一棵二叉樹——一棵完全二叉樹

完全二叉樹 是 效率很高的數據結構，完全二叉樹 是由 滿二叉樹 而引出來的。對於深度爲K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度爲K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之爲完全二叉樹。

因爲有這個性質，，我們可以很方便的存儲一棵二叉堆。

假設存在一個數組array[]，array[i]表示的是節點i存儲的數值。

此時我們令1爲這顆完全二叉樹的根節點，，，對於節點a來說，a×2$a\times 2$ 是a的左兒子，a×2+1$a\times 2+1$ 是a的右兒子（有疑問可以自己畫一棵二叉樹，標上序號）

堆性質

對於一個堆，這裏以小根堆爲例，大根堆相反

這個堆的任意一個節點的值都要小於等於這個節點的所有兒子節點

擴展一下可以得知，這個堆中某一棵子樹的根節點，是這棵子樹中所有節點中值最小的一個

然後如果我們要取得堆中所有元素的最小值，那麼只需要獲取一下array[1]即可

堆操作

一個二叉堆的操作，最常用的主要有三：

1. 向堆中加入一個元素
2. 取出堆中最小的那個元素
3. 刪除堆中最小的元素

接下來我們看看如何完成這三個操作

實現

其實完成以上操作(主要是加入和刪除元素)，其實都緊緊圍繞着一個東西：

維護堆性質

首先來看加入元素，因爲要加入的元素我們並不知道大小，所以從堆裏找一個元素進行替換這個做法明顯不可取，此時我們就要想一想極端的：

1. 加入的這個數字比堆中任何數字都小
2. 加入的這個數字比堆中任何數字都大

可以得知，如果以上條件我們的堆可以維護的話，那麼其他任何條件想維護起來都不困難了

所以，我們可以把這個數字放在Array數字的末尾後一位(此處的末尾是堆的末尾)

然後堆又是個完全二叉樹，所以此時這個新添加的節點算是這棵樹的葉子節點，，，好了，既然節點已經加入進來了，我們就要考慮如何維護堆性質了

此時該節點已經是葉子節點，所以不存在什麼兒子要大於父親(自己)，此時這個節點的身份是上一層某個節點的兒子，所以我們要考慮的僅僅是該節點的父親是否小於該節點，如果不滿足堆性質則兩者交換值

【注】數組存儲的完全二叉樹中，兒子id = a，則其父親節點的id = (int)(a÷2)$(int)(a÷2)$

如果交換節點後，此時這個新節點就不是葉子節點了，而變成了它之前的父節點，然後我們還要繼續檢測堆性質是否滿足，而我們改變的僅僅是這個節點，所以繼續檢查這個節點就好了，，，接着剛纔，這個節點與父節點互換，所以此節點的兒子節點都已經滿足堆性質，所以我們繼續考慮這個節點的父節點即可，直到滿足堆性質或者這個節點已經成爲了堆的根。

代碼：（其實還是很簡短的）

void swap_ (int *a,int *b) {
    *a = *a ^ *b;
    *b = *a ^ *b;
    *a = *a ^ *b;
}

void insert_ (int num) {
    heap[++tail] = num;
    int n = tail, p = n >> 1;
    while (p && heap[p] > heap[n]) {
        swap_(&heap[p],&heap[n]);
        n = p, p = n >> 1; //利用二進制加速
    }
}

接下來就取最小值操作了，，這個沒啥說的，返回array[1]就好

最後一個就是pop操作，也就是刪除最小值

根據堆性質，最小值一定就是節點1，也就是root節點，所以我們只需要”刪除”掉array[1]就好，但是如果真的刪除，那麼整棵樹都會炸掉。。

這樣想，我們只是刪除了root節點，而root的倆個兒子表示的子樹都分別滿足堆性質，完全可以用一個無窮大INF來替換掉root，表示刪除了root，然後我們在維護一下堆性質，可以知道，INF最終會移動到堆的葉子節點，，，堆的root則替換成了堆中的其他節點，而堆性質仍然滿足，，，

但是，這樣太麻煩了，因爲這裏是用數組存儲的堆，我們完全可以用堆數組中的最後一個元素替換掉root，然後將堆的大小size-1，表示刪除掉root節點，然後對root維護堆性質。

具體操作：
因爲堆性質是父親節點要小於任意兒子，所以我們取兩個兒子中更小的那個和root比較
如果不滿足堆性質，則交換變量，滿足則結束

如果交換了變量，則該節點上方的節點都滿足了堆性質，所以我們考慮下面就好，繼續比較該變量與其子兒子，直到滿足堆性質或者到達堆的尾部。

代碼：

void pop () {
    heap[1] = heap[tail--];
    int p = 1, son = p << 1;
    while (son <= tail) {
        if (son < tail && heap[son] > heap[son + 1]) son++;
        if (heap[p] <= heap[son]) break;
        swap_(&heap[p], &heap[son]);
        p = son,son = p << 1;
    }
}

完整代碼

最後貼完整代碼

#include <stdio.h>

int heap [10000],tail;

void swap_ (int *a,int *b) {///½»»»±äÁ¿
    *a = *a ^ *b;
    *b = *a ^ *b;
    *a = *a ^ *b;
}

void insert_ (int num) {
    heap[++tail] = num;
    int n = tail, p = n >> 1;
    while (p && heap[p] > heap[n]) {
        swap_(&heap[p],&heap[n]);
        n = p, p = n >> 1;
    }
}

int top() {
    if (tail) return heap[1];
    return 0;
}

void pop () {
    heap[1] = heap[tail--];
    int p = 1, son = p << 1;
    while (son <= tail) {
        if (son < tail && heap[son] > heap[son + 1]) son++;
        if (heap[p] <= heap[son]) break;
        swap_(&heap[p], &heap[son]);
        p = son,son = p << 1;
    }
}

int main () {
    insert_(3);
    insert_(2);
    insert_(1);
    insert_(4);

    printf ("%d\n", top());
    pop ();
    printf ("%d\n", top());
    pop ();
    printf ("%d\n", top());
    pop ();
    printf ("%d\n", top());
    pop ();
    printf ("%d\n", top());
    pop ();
    printf ("%d\n", top());
    return 0;
}

輸出：

1
2
3
4
0
0