有限序列線性複雜度和k-錯線性複雜度的計算 —— 密碼與密碼工程實踐No.2

有限序列線性複雜度和k-誤差線性複雜度的計算
在本節中，我們的目標是開發算法，計算有限序列的線性複雜度和k-誤差線性複雜度，將其視爲週期爲2次方的二進制序列的初始段（我們不需要知道是哪一次方）。
注意，任何週期爲${{2}^{v}}$的無窮序列$s\in \Tau$，其中 最小，$c(s)\le {{2}^{v}}$。因此，如果我們知道s的至少$2c(s)$項，我們實際上知道序列的整個週期，即我們知道整個序列。
我們將用 表示週期任意冪爲2的二進制序列集，$\Tau =\bigcup\nolimits_{i=0}^{\infty }{{{P}_{{{2}^{i}}}}}$。
定理3.1 假設$z=({{z}_{0}},{{z}_{1}},\cdots ,{{z}_{t-1}})\in F_{2}^{t}$ 是一個長度爲$t\ge 1$的有限序列。
定義$u=\left\lceil {{\log }_{2}}t \right\rceil$ ，無限週期爲${{2}^{u}}$的序列${{s}^{'}}$如下：

1. 如果$c(z,\Tau )\le \frac{t}{2}$ ， 則$c(z,\Tau )=c({{s}^{'}})$ ；
2. 如果$c(z,\Tau )>\frac{t}{2}$ ， 則 $c({{s}^{'}})>\frac{t}{2}$ 。

前面的定理可用於計算有限序列的線性複雜度，如下所示。對於長度爲t的有限序列z，將其看作一個週期序列的初始段，在定理3.1中建立（線性時間）週期${{2}^{\left\lceil {{\log }_{2}}t \right\rceil }}$ 2的無窮序列${{s}^{'}}$。然後使用Games-Chan算法計算$c({{s}^{'}})$。如果結果最多是$\frac{t}{2}$，我們將其輸出爲$c(z,\Tau )$。否則，我們輸出一條消息“z的複雜度大於項數的一半”。當我們真正想計算只知道第一個t項的無限序列s的複雜度時，這種情況可能很有用。
然而，我們可能需要計算$c(z,\Tau )$的精確值，即使它比$\frac{t}{2}$高。這一點，以及k-錯誤複雜度可以使用以下定理計算。其主要思想是，如果我們將有限序列擴展爲無限週期代價序列，例如序列中的新項都是具有零代價的，那麼對新項的任何更改都不計入k個錯誤，只計入原始有限序列中的更改。
定理3.2 假設$z=({{z}_{0}},{{z}_{1}},\cdots ,{{z}_{t-1}})\in F_{2}^{t}$是一個有限序列，其中$t\ge 1$。定義$u=\left\lceil {{\log }_{2}}t \right\rceil$，定義週期爲$2^u$的無限代價序列${{s}^{'}}$ ，如下所示：
$s_{i}^{'}={{z}_{i}}$ ， $\cos t[i]=1$ ，$i=0,1,\cdots ,t-1$
$\forall s_{i}^{'}$ ， $\cos t[i]=0$ ， $i=t,t+1,\cdots ,{{2}^{u}}-1$
${{c}_{k}}(z,\Tau )={{c}_{k,{{2}^{u}}}}({{s}^{'}},\cos t)$ ， $k=0,1,\cdots ,wt(z)$
特別地，${{c}_{0}}(z,\Tau )={{c}_{0,{{2}^{u}}}}({{s}^{'}},\cos t)$