具体数学之数论

1.整除性：
$m \backslash n \Leftrightarrow m > 0，并且m可以整除n$

欧几里得算法求解最大公约数
$\operatorname{gcd}(0, n)=n$
$\operatorname{gcd}(m, n)=\operatorname{gcd}(n \bmod m, m), \quad m>0$

2.素数：
eg：证明有无限多个素数
假设仅有有限个素数，比如k个：2，3，5，…，$P_k$.那么考虑 $M=2 \times 3 \times 5 \times \cdots \times P_{k}+1$
我们发现M不能被这已有的k个素数中的任何一个整除，那么肯定有另一个素数可以整除M，或许M本身就是一个素数。因此与假设相矛盾！所以存在无穷多个素数。

3.阶乘的因子：
斯特林公式：$n ! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}$
确定能整除n！的p的最大幂：

因此，$10！$能被$2^{8}$整除

4.互素：$m \perp n$: m与n互素
$m \perp n \Leftrightarrow m, n是整数，且gcd(m,n)=1$
$m / \operatorname{gcd}(m, n) \perp n / \operatorname{gcd}(m, n)$
$k \perp m \mathrm且 k \perp n \Leftrightarrow k \perp m n$

从两个分数$\left(\frac{0}{1}, \frac{1}{0}\right)$开始，依次在两个相邻的分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m^{\prime}}{n^{\prime}}$之间插入$\frac{m+m^{\prime}}{n+n^{\prime}}$，$\frac{m+m^{\prime}}{n+n^{\prime}}$称为中位分数。

如果$m / n$和$m^{\prime} / n^{\prime}$是相邻分数，那么有$m^{\prime} n-m n^{\prime}=1$
用如下形式来表示，第一列表示$m / n$，可见分子在下，分母在上，第二列也一样：
$M(S)=\left( \begin{array}{ll}{n} & {n^{\prime}} \\ {m} & {m^{\prime}}\end{array}\right)$
$M(S L)=\left( \begin{array}{cc}{n} & {n+n^{\prime}} \\ {m} & {m+m^{\prime}}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc}{n} & {n^{\prime}} \\ {m} & {m^{\prime}}\end{array}\right) \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {0} & {1}\end{array}\right)=M(S) \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {0} & {1}\end{array}\right)$
$M(S R)=\left( \begin{array}{cc}{n+n^{\prime}} & {n^{\prime}} \\ {m+m^{\prime}} & {m^{\prime}}\end{array}\right)=M(S) \left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {1} & {1}\end{array}\right)$
可将L和R定义为：
$L=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {0} & {1}\end{array}\right), \quad R=\left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {1} & {1}\end{array}\right)$

$S=\left( \begin{array}{cc}{n} & {n^{\prime}} \\ {m} & {m^{\prime}}\end{array}\right) ; \quad R S=\left( \begin{array}{cc}{n} & {n^{\prime}} \\ {m+n} & {m^{\prime}+n^{\prime}}\end{array}\right)$
$\Rightarrow$$f(S)=\left(m+m^{\prime}\right) /\left(n+n^{\prime}\right)$ ，$f(R S)=\left((m+n)+\left(m^{\prime}+n^{\prime}\right)\right) /\left(n+n^{\prime}\right)$
$\Rightarrow$$f(R S)=f(S)+1$
$\Rightarrow$往右走意味着将分母+分子作为分子
同理， $\quad L S=\left( \begin{array}{cc}{m+n} & {m^{\prime}+n^{\prime}} \\ {m} & {m^{\prime}}\end{array}\right)$
$f(LS)= \left(m+m^{\prime}\right)/\left((m+n)+\left(m^{\prime}+n^{\prime}\right)\right)$
$\Rightarrow$往左走意味着将分子+分母作为分母
5.mod：同余关系
$a \equiv b \quad(\bmod m) \quad \Leftrightarrow \quad a \bmod m=b \bmod m$
$\Leftrightarrow m|(a-b)$
$\Leftrightarrow$ a-b is the multiple of m

$a \equiv b \quad \mathrm且\quad c \equiv d \quad \Rightarrow \quad a+c \equiv b+d \quad(\bmod m)$
$a \equiv b \quad \mathrm且\quad c \equiv d \quad \Rightarrow \quad a-c \equiv b-d \quad(\bmod m)$
if $a d \equiv b d(\bmod m)$，we can’t always conclude that $a \equiv b$
比如：$3 \times 2 \equiv 5 \times 2(\bmod 4)$ 但是$3 \not\equiv5$
但是如果d和m互素，那么有
$a d \equiv b d \quad \Leftrightarrow \quad a \equiv b \quad(\bmod m),a,b,d,m,d \perp m$
$\Rightarrow m|d(a-b)$
$\Rightarrow m|(a-b)$
将除法应用到同余式的另一种方法，对模作除法：
$a d \equiv b d \quad(\bmod m d) \quad \Leftrightarrow \quad a \equiv b \quad(\bmod m), d \neq 0$