二叉堆的構建、插入、刪除等操作

完全二叉樹

若設二叉樹的深度爲h，除第h層外，其它各層 (1 ~ h-1) 的結點數都達到最大個數，第h層的所有節點都集中在左邊的若干位置，這就是完全二叉樹

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二叉樹和二叉堆

• 二叉樹一般採用鏈表的形式實現
• 二叉堆一般採用數組的形式實現

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二叉堆

• 具有完全二叉樹的特性
• 二叉堆的根節點稱爲堆頂
• 堆中任何一個父節點的值都 >=/<= 它的左右孩子節點
  最大堆：父節點的值 >= 左右孩子節點的值
  
  最小堆
  
  
  

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以小根堆舉例

構建二叉堆：

• 即一個有 n 個節點的 無序的完全二叉樹，把它構建成二叉堆
• 非葉子節點–從下往上-依次下沉。從下面的非葉子節點開始，讓所有非葉子節點依次下沉（從下往上開始）
  
  
  

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插入節點：

具有完全二叉樹的特性，插入一個節點的時候，需要保證節點插入後，仍然是一顆完全二叉樹，然後在進行調整，使它滿足二叉堆的另一個特性

• 插入。把新節點插入到完全二叉樹的最後一個位置
• 調整–上浮。把新插入的節點與它的父節點進行比較，如果新節點小於父節點的值，則讓新節點上浮，即和父節點交換位置
  
  
  

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刪除節點（一般刪除根節點）：

具有完全二叉樹的特性，刪除一個幾點的時候，要馬上恢復它具有完全二叉樹特性

• 刪除。把根節點刪除
• 最後一個元素頂替刪除的根節點爲止。用二叉堆最後一個元素頂替上來
• 調整----頂替後的根節點下沉。把頂替上來的根節點和它的左右孩子比較，如果根節點大於子節點，則讓根節點下沉，和子節點交換位置
• 如何選取子節點？因爲是最小堆，要保證父節點比子節點小，因此選擇左右節點中小的元素進行交換

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舉個例子：
數組形式：1 2 3 5 4 6 7 8 9
二叉堆形式：
1
2 3
5 4 6 7
8 9

此處 n 是數組下標
節點位置：n
左孩子位置：2 * n + 1
右孩子位置：2 * n + 2

舉例：
節點[2]下標：1
節點[5]下標：3 = 2 * 1 + 1
節點[4]下標：4 = 2 * 1 + 2

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看一個代碼更加了解一下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>

using namespace std;
// 下沉：即把當前節點和孩子節點進行比較
void DownAdjust(int * a , int parent , int indexSize)
{
    int temp = a[parent];
    // 左孩子節點先賦值
    int child = 2 * parent + 1;                 // 找到左右節點中的最小值
    
    // 下沉要一直下沉，直到葉子節點
    while(child < indexSize)
    {   
        // 如果存在右節點，找出左右節點中最小的那個進行交換
        if ((child + 1 < indexSize) && (a[child] > a[child + 1]))
        {
            child = child + 1;
        }

        // 當父節點比子節點都小或者相等時，下沉結束
        if(temp <= a[child])
        {
            break;
        }

        // 單向賦值（爲啥不是）
        a[parent] = a[child];
        parent = child;
        child = 2 * parent + 1;
    }
    
    a[parent] = temp;
}


// 上浮：對插入的節點執行上浮操作  indexSize插入前最後一個元素的下標
void UpAdjust(int * a , int indexSize)
{
    // 插入的節點的下標
    int chlid = indexSize + 1;
    int temp = a[chlid];

    int parent = (chlid - 1)/2;                 // 爲什麼要 (child - 1)/2，可以去試試，插入的節點是左節點或者右節點通過-1/2計算出來的值都一樣
    while(chlid > 0 && temp < a[parent])        // 即浮到最頂上了
    {
        // 單向賦值。不用每次都交換，因爲你發現交換後還得給temp重新賦值，還是之前那個值，直接用temp值去比較就行了
        a[chlid] = a[parent];
        chlid = parent;
        parent = (chlid - 1)/2;
    }
    
    a[chlid] = temp;
}


// 構建二叉堆
void BuildHeap(int * arr , int indexSize)
{
    for(int i = (indexSize - 2)/2 ; i >= 0 ;--i)
    {
        DownAdjust(arr , i , indexSize);
    }
}



void PrintArr(int * a , int size)
{
    for(int i = 0 ; i < 10; ++i)
    {
        printf("%d " , a[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    int a[10] = {10 , 12, 7 , 8 , 6 ,3 ,5 , 2 ,1 , 9};
    PrintArr(a , 10);
	
	// 本例都是以小根堆爲例子
	// 構建二叉堆：即從下往上對非葉子節點進行下沉，每次都沉到底/或父節點比左右子節點都小爲止
    BuildHeap(a , 9);

    PrintArr(a , 10);

    return 0;
}

輸出結果：

10 12 7 8 6 3 5 2 1 9 
1 2 3 8 6 7 5 12 10 9