數論——同餘和費馬小定理

同餘：如果對於a和b，有a-b求餘m等於零，則我們說a和b同餘，記爲a≡b(mod m)

其實我們也可以通俗易懂的總結一下，就是a mod m == b mod m

互質：gcd(a,b) == 1，我們就說兩個數是互質的

費馬小定理：對於a和p兩個互質的數，存在等式a^(p-1)≡1(mod p)

我們舉個經典的例子吧

對於2^100 mod 13 我可以看到，這裏13和2是互質的，我們要用費馬小定理的話應該怎麼辦？

是不是要構造出13-1啊！所以有 2^100≡(2^((12*8)+4))(mod 13)，到了這一步，我們就可以用費馬小定理了

對於2^12 是不是有2^12≡1mod13，所以我們去替換就行了

說的更明白點就是，2^100 和 2^((12*8)+4)) 取摸 13 的值相等，也就是和 (2^(12*8)mod13 * 2^4mod13)mod13相等，也就是和((1mod13)^8*2^4mod13)mod13相等，說到這裏，大家就應該明白了吧，我這輩子應該也忘不了了吧

下面給一個經典題目吧

這個題目重在條件轉換，這是數論題目的常規操作

我們首先需要理解S(k) be the number of (x1,x2,......,xk)，這句話的意思是S（k）代表k個數能相加等於N的序列數目

然後還有一個問題是，例如N等於3，k = 2時，1+2和2+1是不是一個序列，這個問題模棱兩可，但是數論問題就是要找規律，我們認定這是兩個序列的話，容易得出來，S(1) + .... +S(N)等於2^(n-1)，這樣就可以用到費馬小定理了！

具體見下面的AC代碼 

Input

2

Output

2

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
string n;
int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        ll mod = 1000000006;
        ll sum = 0;
        ll power = 10;
        ll k = n.size()-1;
        while(n[k] == '0')
        {
            k--;
        }
        n[k] = n[k] - 1;
        for(ll i = n.size()-1; i > k; i--)
        {
            n[i] = '9';
        }
        for(ll i = 0; i < n.size(); i++)
        {
            sum = sum * power + (n[i]-'0');
            if(sum >= mod)
            {
                sum %= mod;
            }
        }
        ll a = 2;
        ll result = 1;
        ll mod1 = 1000000007;
        while(sum)
        {
            if(sum % 2 == 1) result = (result*a)%mod1;
            a = (a*a)%mod1;
            sum/=2;
        }
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}