兩個可能常用到的幾何知識（圓與橢圓的方程、求垂直向量）

圓和橢圓的參數方程

圓的參數方程

特殊圓的參數方程【圓心(0,0)，半徑R】

其參數α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉角，如下圖所示；

一般圓的參數方程【圓心(m,n)，半徑R】

其參數α的幾何意義仿上例理解；

橢圓的參數方程

其參數ϕ的幾何意義是對應的大圓或小圓半徑的旋轉角∠AOM，也就是橢圓的離心角．不是橢圓上動點和中心連線的旋轉角∠AOP；切記！

雖然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很顯然這二者也是一一對應的，並且它們的範圍都是==[0，2π)==。

引例

已知橢圓的參數方程爲

點M在橢圓上，對應參數t=$\frac{π}{3}$，點O爲原點，則直線OM的斜率爲 $\sqrt 3$。

分析：這個說法是錯誤的，怎麼糾正呢？

當t=$\frac{π}{3}$時，代入得到 x=2cos($\frac{π}{3}$)=1，y=2sin($\frac{π}{3}$)=2$\sqrt 3$，故M(1，2$\sqrt 3$)，
則k_OM=$\frac{y−0}{x−0}$=2$\sqrt 3$。

化爲參數方程

介紹一個容易記憶的方法：
類比：cos²θ+sin²θ=1

• 當圓爲x²+y²=4時，先轉換爲($\frac{x}{2}$)²+($\frac{y}{2}$)²=1，
  cos²θ+sin²θ=1 與 ($\frac{x}{2}$)²+($\frac{y}{2}$)²=1
  對應上式，得到 cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{2}$，故圓的參數方程爲
  
  當然，我們還可以這樣交叉對應，得到 sinθ=$\frac{x}{2}$，cosθ=$\frac{y}{2}$，故圓的參數方程還可以爲
  

說明:

1. 由此說明，當我們取的參數不一樣時，圓的參數方程是不一樣的，即圓的參數方程可能不唯一。兩種參數的含義不一定一樣。
2. 我們約定俗成的取法是第一種。
3. 參數方程的參數有時候有明確的幾何意義，有時候沒有。

• 當圓爲 (x−a)²+(y−b)²=R² 時，先轉換爲($\frac{x−a}{R}$)²+($\frac{y−b}{R}$)²=1，
  對應上式，得到 cosθ=$\frac{x−a}{R}$，sinθ=$\frac{y−b}{R}$，故圓的參數方程爲
  
• 當橢圓爲 $\frac{ x^2}{ a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 時，先轉化爲($\frac{x}{a}$)²+($\frac{y}{b}$)²=1，
  對應上式得到 cosθ=$\frac{x}{a}$，sinθ=$\frac{y}{b}$，故橢圓的參數方程爲
  

Unity中的使用

Vector3 point;
float m_width = 5.0f;
float number = 20;
float Stage = 360 / number;
List<Vector3> circle = new List<Vector3>();
for (int i = 0; i < number; i++)
{
    Vector3 temp = new Vector3(point.position.x + m_width * Mathf.Cos(Stage * i), point.position.y + m_width * Mathf.Sin(Stage * i), 0);
    circle.Add(temp);
}

最終的結果就是：鏈表對象circle中存儲了20個圓上的點。

參數方程的優點

當處理圓或者橢圓上的任意一點到直線的距離的最值時，參數方程就會體現出它巨大的優越性。原因在於：如果是普通方程時，點的座標形式爲(x，y)，轉化得到的必然是二元形式的，而如果是參數方程，轉化得到的必然是一元形式的，肯定要比二元的簡單的多。

向量的垂直向量

原理：兩個向量垂直的點積爲0

• 二維狀況下，向量(X₁,Y₁)與垂直向量(X₂,Y₂)的點積爲0。

  即：X₁X₂+Y₁Y₂=0

• 三維狀態下，向量(X₁,Y₁,Z₁)與垂直向量(X₂,Y₂,Z₂)的點積爲0。

  即：X₁X₂+T₁T₂+Z₁Z₂=0

Unity用法引例

求二維垂直向量

Vector2 dir;
Vector2 verticalDirection = new Vector2(dir.y, -dir.x);

注意：二維狀態下，與一個向量垂直的應該是一條線。故結果並不是唯一的。
下面再寫幾個：

Vector2 verticalDirection_1 = new Vector2(1, -dir.x / dir.y);
Vector2 verticalDirection_2 = new Vector2(-dir.y / dir.x, 1);

求三維垂直向量

注意：三維狀態下，與一個向量垂直的應該是一個面。故結果也不是唯一的，比二維狀態下情況還要多。
同二維狀態，這裏我也只寫幾個：

Vector3 dir;
Vector3 verticalDirection = new Vector3(dir.y, -dir.x, 0);
Vector3 verticalDirection_1 = new Vector3(-_dir.z / _dir.x, 0, 1);
Vector3 verticalDirection_2 = new Vector3(1 , 0 , -dir.x / dir.z);
...

原文參考鏈接

1. 圓和橢圓的參數方程：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5891493.html；
2. 二維向量的垂線計算：https://blog.csdn.net/dgtg_tjs/article/details/80507771；
3. 三維向量的垂線計算：https://blog.csdn.net/cheng219101/article/details/79679797；
4. 爲什麼兩個垂直向量的點積爲0：https://blog.csdn.net/u014756380/article/details/77901834.