頻域抽樣理論

1. 頻域抽樣理論

如果序列的長度爲M點，若對在上作等間隔抽樣，共有N點（抽樣點0~N-1，即不包括），得到，只有當抽樣點數N滿足時，才能由恢復x(n)，即x(n)=IDFT[]，否則將產生時域的混疊失真，不能由恢復爲x(n)。

理解爲：

• 頻率在一個週期內抽樣N點，造成時域上以N點爲週期的各週期延拓分量混疊相加後，在主值區間0~N-1內的序列。
• 只有在範圍內是沒有混疊失真的，即在此範圍內，纔有。
• 由於討論的是主值區間序列，故只有向左週期延拓纔會影響值。
• ，通常r大於等於0。

2. 頻域的插值恢復

所謂頻域的插值恢復，就是由經過插值來表示或。頻域插值是FIR數字濾波器頻率抽樣結構和頻率抽樣設計的理論依據。

• 由插值恢復

• 由插值恢復

3. 時域抽樣

時域以fs頻率抽樣，頻域就會以抽樣頻率fs爲週期而週期延拓，若頻域是限帶信號，最高頻率fh，只有滿足fs>2fh就不會產生頻譜混疊失真。fs=(3~6)fh，數字頻率上w=pi。

4. 時域截斷

在時域序列上乘一個有限長（0≤n≤N-1）窗口函數d(n),得到x(n)d(n)。

tips：截斷前後的頻譜比較：

4.1. 產生頻譜泄漏。原來的譜線展寬，降低了頻率分辨率，定義矩形窗2Π/N。

4.2 產生譜間串擾。即形成了很多旁瓣（矩形窗中相對於主瓣幅度不是很小的旁瓣）

上述二者使頻譜展寬和拖尾，也會造成頻譜混疊失真，嚴重時需提高fs。解決方法：1.採用緩變型的窗函數；2.提高頻率分辨率唯一方法是增加數據長度T0更長。

5. 頻域抽樣

由於頻域仍是連續值，故必須進行離散化，將離散化。在離散時域先產生週期延拓序列,要求最小頻率間隔F0≤fs/N，即一個週期內頻率抽樣點數M≥N。

6. 頻率分辨率

指長度爲N的信號序列所對應連續譜中能分辨的兩個頻率分量峯值的最小頻率間距F0，F0與數據長度T0成反比：

若不做數據補零值點的特殊處理，則抽樣點數N與T0關係T0=NT=N/fs=1/F0，可得F0=1/(NT)=fs/N。

F0越小，頻率分辨率越高，若想提高分辨率，即減小F0，則只能增加有效數據長度，若此時fs不變，則只能抽樣點數增加N。

tips：時域補零點的辦法雖然增加了N值，但不能提高頻率分辨率。因爲補零是不能增加信號的有效長度的，所以補零後信號頻譜是不會變化的，因而不能增加任何信息，無法提高分辨率。