频域抽样理论

1. 频域抽样理论

如果序列的长度为M点，若对在上作等间隔抽样，共有N点（抽样点0~N-1，即不包括），得到，只有当抽样点数N满足时，才能由恢复x(n)，即x(n)=IDFT[]，否则将产生时域的混叠失真，不能由恢复为x(n)。

理解为：

• 频率在一个周期内抽样N点，造成时域上以N点为周期的各周期延拓分量混叠相加后，在主值区间0~N-1内的序列。
• 只有在范围内是没有混叠失真的，即在此范围内，才有。
• 由于讨论的是主值区间序列，故只有向左周期延拓才会影响值。
• ，通常r大于等于0。

2. 频域的插值恢复

所谓频域的插值恢复，就是由经过插值来表示或。频域插值是FIR数字滤波器频率抽样结构和频率抽样设计的理论依据。

• 由插值恢复

• 由插值恢复

3. 时域抽样

时域以fs频率抽样，频域就会以抽样频率fs为周期而周期延拓，若频域是限带信号，最高频率fh，只有满足fs>2fh就不会产生频谱混叠失真。fs=(3~6)fh，数字频率上w=pi。

4. 时域截断

在时域序列上乘一个有限长（0≤n≤N-1）窗口函数d(n),得到x(n)d(n)。

tips：截断前后的频谱比较：

4.1. 产生频谱泄漏。原来的谱线展宽，降低了频率分辨率，定义矩形窗2Π/N。

4.2 产生谱间串扰。即形成了很多旁瓣（矩形窗中相对于主瓣幅度不是很小的旁瓣）

上述二者使频谱展宽和拖尾，也会造成频谱混叠失真，严重时需提高fs。解决方法：1.采用缓变型的窗函数；2.提高频率分辨率唯一方法是增加数据长度T0更长。

5. 频域抽样

由于频域仍是连续值，故必须进行离散化，将离散化。在离散时域先产生周期延拓序列,要求最小频率间隔F0≤fs/N，即一个周期内频率抽样点数M≥N。

6. 频率分辨率

指长度为N的信号序列所对应连续谱中能分辨的两个频率分量峰值的最小频率间距F0，F0与数据长度T0成反比：

若不做数据补零值点的特殊处理，则抽样点数N与T0关系T0=NT=N/fs=1/F0，可得F0=1/(NT)=fs/N。

F0越小，频率分辨率越高，若想提高分辨率，即减小F0，则只能增加有效数据长度，若此时fs不变，则只能抽样点数增加N。

tips：时域补零点的办法虽然增加了N值，但不能提高频率分辨率。因为补零是不能增加信号的有效长度的，所以补零后信号频谱是不会变化的，因而不能增加任何信息，无法提高分辨率。