數據結構與算法 - 06 動態規劃

• 判斷動態規劃 - 同時滿足以下條件
  • 1.是數學優化對方法 - 最優子結構
    • 一個問題的最優解，是由它對各個子問題的最優解決定的
    • 狀態轉移方程 f(n)
  • 2. 是編程的方法 - 重疊子問題
    • 保證每個重疊的子問題，只會被求解一次
• 解題思路
  • 1. 找最優子結構：輸入規模對半分
  • 2. 找最優子結構：每次減一個
  • 3. 找重疊子問題
• 解決動態規劃問題對兩個難點
  • 1. 如何定義 f(n)
  • 2. 如何通過 f(1)，f(2)，... f(n-1) 推導出 f(n)，即 狀態轉移方程
• 求解方式
  • 遞歸 - 解 狀態轉移方程式
    • 缺點：耗費非常多的重複計算
  • 記憶化 Memoization
    • 避免重疊計算
    • 將已經計算出來的結果保存起來，下次遇到時，直接返回，節省計算時間
  • 自底向上 Bottom-Up
    • 通過狀態轉移方程，從最小對問題規模入手
    • 不斷地增加問題規模，直到達到所要求的問題規模爲止
    • 使用 記憶化 避免重複計算
• 編碼實現對兩個難點
  • 1. 應當採用什麼樣的數據結構來保存什麼樣對計算結果
    • 往往是在把問題規模縮小對過程中進行
    • 不僅是爲了避免重複的計算，也是推導狀態轉移方程的關鍵
  • 2. 如何利用保存下來的計算結果推導出狀態轉移方程
• 動態規劃分類
  • 1. 線性規劃
    • 子問題的規模以線性的方式分佈
    • 結果可以存儲在一維線性數據結構裏，如：一維數組、哈希表等
  • 2. 區間規劃
    • 各個子問題的規模由不同的區間來定義
    • 結果存儲在二維數組裏
    • 一般用 dp[i][j] 代表從第 i 個位置到 第 j 個位置之間對最佳狀態或結果
  • 3. 約束規劃
    • 在上述一般解法的基礎上，加入限制或約束條件
• • 一個問題的最優解，是由它對各個子問題的最優解決定的
  • 狀態轉移方程 f(n)
  • 2. 是編程的方法 - 重疊子問題
    • 保證每個重疊的子問題，只會被求解一次