【算法】取硬幣(揹包問題）

儘管做完蒙德里安的夢想以後我就沒有夢想了，但是還是要繼續的。這不是又遇到一個題很有意思 ，沒有想到的我哭了，就是裸題，我還是太菜了。

取硬幣

題目描述：

現在有 n1+n2 種面值的硬幣，其中前 n1 種爲普通幣，可以取任意枚，後 n2 種爲紀念幣，每種最多隻能取 1 枚，每種硬幣有一個面值，問能用多少種方法拼出 m 的面值？

輸入格式

第一行包含三個整數 n1,n2,m，分別表示普通幣種類數，紀念幣種類數和目標面值；

第二行 n1 個整數，第 i 種普通幣的面值 a[i]。保證 a[i] 爲嚴格升序；

第三行 n2 個整數，第 i 中紀念幣的面試 b[i]。保證 b[i] 爲嚴格升序。

輸出格式

共一行，包含一個整數 x，表示方法總數對 109+7 取模後的結果。

注意，不要忘記取模。

數據範圍
對於 30% 的數據，保證 1≤n1+n2≤10,1≤m≤100,1≤a[i]≤100,1≤b[i]≤100。
對於 100% 的數據，保證 1≤n1+n2≤100,1≤m≤100000,1≤a[i]≤100000,1≤b[i]≤100000。

輸入樣例：
3 1 5
1 2 3
1
輸出樣例：
9

樣例解釋

(x) 代表面值爲x的普通幣，[x]代表面值爲x的紀念幣，樣例所有方法數如下：

(1)(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(2)
(1)(1)(3)
(1)(2)(2)
(2)(3)
(1)(1)(1)(1)[1]
(1)(1)[1](2)
(1)[1](3)
[1](2)(2)

算法思路：完全揹包加01揹包 hhh

揹包問題：完全揹包（普通幣） + 0/1揹包（紀念幣）
時間複雜度： O(nm)
f[ i ][ j ]：1.只從前i種硬幣中選，且總面值是j的選法的集合 2.數量
集合可以分爲兩種：不選硬幣i + 選硬幣i
不選硬幣i： f[i][j] = f[i-1][j]
選硬幣i後：1. 紀念幣（0/1揹包）f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-p[i]]
選硬幣i後：2. 普通幣種（完全揹包）f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-p[i]] + f[i-1][j-2p[i]] + …
優化：f[i][j-p[i]] = f[i-1][j-p[i]] + f[i-1][j-2p[i]] + f[i-1][j-3p[ i ] ] + …
f[i][j] = f[i-1][j] + f[ i][j-p[i] ]
二維優化成一維

完整代碼(已AC)：

#include <iostream>
using namespace std;


const int N = 100010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n1 = 0;
int n2 = 0;
int m = 0;
int f[N];

int main()
{
	// f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-p[i]]; 01揹包
	// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j-p[i]]; 完全揹包

	cin >> n1 >> n2 >> m;

	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n1; i++)
	{
		int p = 0;
		cin >> p;
		for (int j = p; j <= m; j++)
		{
			f[j] = (f[j] + f[j - p]) % MOD;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n2; i++)
	{
		int p = 0;
		cin >> p;
		for (int j = m; j >= p; j--)
		{
			f[j] = (f[j] + f[j - p]) % MOD;
		}
	}
	cout << f[m] << endl;


	return 0;
}