測度不變變換(Measure Preserving Transformation)

1. 測度(Measure)

剛開始看到Measure的時候還以爲是測量值的意思...，Measure(測度)的含義根據百度百科如下：

測度，數學術語。數學上，測度（Measure）是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和概率論有重要的地位。

測度的具體定義爲(還是來自百度百科)

定義1：構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函數稱爲E的測度 [2]  。

定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ爲概率測度。

舉例：

• 計數測度：

μ(S)=S所含有的元素個數。顯然，該測度滿足非負性，規範性，完全可加性。因此，計數測度是一個測度；

• 恆零測度：

μ(S)=0。它也滿足非負性，規範性，完全可加性。

• Dirac measure：

具體定義可以在這裏查看。下面的引用來自https://zhuanlan.zhihu.com/p/60758031

Example 3.4 令 , 這是一個測度，稱爲 x處的點質量 (point mass at  x)。這個測度也被稱爲 Dirac 測度 (Dirac measure)，顯然這個測度不是平移不變的 (not translation invariant), 即一般的， 。

顯然，Dirac MEasure也滿足上面測度的三個條件。

 

2. 測度不變變換(Measure Preserving Transformation)

可測度變換(measurable transformation T)

若對任何可測度集合A，它的preimage仍是可測度的(即是可測度的)，則變換T是可測度的(measurable)變換；

測度不變變換(measure-preserving transformation T) 

變換T是測度不變的(measure preserving)如果它是可測度的且對任何可測度集合，都有：

也可以說成：

變換T保持u（T preserves μ）;

the transformation T preserves µ.

測度μ在變換T下不變(invariant);

the measure µ is invariant under the transformation T

 

的含義

T爲可測度(measurable)變換,定義:

顯然，T是測度不變的當且僅當=μ

 

下面是一個舉例：

 

參考：

http://www.maths.dur.ac.uk/users/irene.pasquinelli/dyn/C3L2.pdf