测度不变变换(Measure Preserving Transformation)

1. 测度(Measure)

刚开始看到Measure的时候还以为是测量值的意思...，Measure(测度)的含义根据百度百科如下：

测度，数学术语。数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度的具体定义为(还是来自百度百科)

定义1：构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度 [2]  。

定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

举例：

• 计数测度：

μ(S)=S所含有的元素个数。显然，该测度满足非负性，规范性，完全可加性。因此，计数测度是一个测度；

• 恒零测度：

μ(S)=0。它也满足非负性，规范性，完全可加性。

• Dirac measure：

具体定义可以在这里查看。下面的引用来自https://zhuanlan.zhihu.com/p/60758031

Example 3.4 令 , 这是一个测度，称为 x处的点质量 (point mass at  x)。这个测度也被称为 Dirac 测度 (Dirac measure)，显然这个测度不是平移不变的 (not translation invariant), 即一般的， 。

显然，Dirac MEasure也满足上面测度的三个条件。

 

2. 测度不变变换(Measure Preserving Transformation)

可测度变换(measurable transformation T)

若对任何可测度集合A，它的preimage仍是可测度的(即是可测度的)，则变换T是可测度的(measurable)变换；

测度不变变换(measure-preserving transformation T) 

变换T是测度不变的(measure preserving)如果它是可测度的且对任何可测度集合，都有：

也可以说成：

变换T保持u（T preserves μ）;

the transformation T preserves µ.

测度μ在变换T下不变(invariant);

the measure µ is invariant under the transformation T

 

的含义

T为可测度(measurable)变换,定义:

显然，T是测度不变的当且仅当=μ

 

下面是一个举例：

 

参考：

http://www.maths.dur.ac.uk/users/irene.pasquinelli/dyn/C3L2.pdf