PCA的数学原理Matlab演示

关于

PCA(Principal component analysis)主成分分析，是SVD(Singular value decomposition)奇异值分析的一种特殊情况。主要用于数据降维，特征提取。

Matlab演示

生成一个随机矩阵

这里生成一个3∗3 的小矩阵便于说明。

A = rand(3,3);

A=⎡⎣⎢2.7694−1.34993.03490.7254−0.06310.7147−0.2050−0.12411.4897⎤⎦⎥

特征值分解

[V,D] = eig(A);

V=⎡⎣⎢0.30460.94450.1230−0.73680.15180.65880.6036−0.29140.7421⎤⎦⎥

D=⎡⎣⎢0.06550001.306000020⎤⎦⎥

V是特征向量，D是特征向量对应的特征值。特征值从小到大依次为20,1.3060,0.0655。最后一个特征非常小，因为我们可以舍去。

构造子空间的基

SubSpace = V(:,2:end);

SubSpace=⎡⎣⎢−0.73680.15180.65880.6036−0.29140.7421⎤⎦⎥

我们选取最大的两个特征值对应的特征向量，构成我们的子空间。

构造子空间上的正交投影

Q = SubSpace * SubSpace ’；

Q=⎡⎣⎢0.9072−0.2877−0.0375−0.28770.1079−0.1162−0.0375−0.11620.9849⎤⎦⎥

子空间投影

B = Q'*A ;

B=⎡⎣⎢2.7871−1.29533.04200.6494−0.29860.6841−0.2061−0.12761.4893⎤⎦⎥

计算子空间与原始空间的差值

可以看出这里我们使用子空间投影复原的矩阵B 和原始矩阵A 差异非常小，我们可以使用Frobenius范数度量两个矩阵的差异。

 norm(A-B,'fro');

ans=0.2560

数学好的同学已经看出来了，其实这也就是矩阵的低秩逼近问题。

min||X−Xr||2F,s.t.rank(Xr)<=r

完。

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作者	日期	联系方式
风吹夏天	2015年8月10日	[email protected]