數學建模之圖論——圖與網絡模型（二）（最小生成樹問題、最大流問題）

建議先看上一篇基本概念篇 https://blog.csdn.net/weixin_45755332/article/details/106899147

最小生成樹

基本概念和方法

樹：沒有圈的連通圖
圖一是，圖二有圈，圖三滅有連通

生成子圖：對於無向圖 G =(V,E) ,保留G的所有點，而刪掉G的邊或者保留部分 G 的邊，所獲得的圖稱爲 G 的生成子圖。
如左圖去了那兩條邊，剩下的那個圖就是生成子圖

生成樹：若圖 G 的一個生成子圖是一個樹，則稱這個生成子圖爲生成樹。上面右圖就是一個最小生成樹

最小生成樹問題：在一個賦權的連通的無向圖 G 中找出一個生成樹，並使得這個生成樹的所有邊的權數之和爲最小。

最小生成樹的常用方法：

1. 破圈法：任取一圈，去掉圈中最長邊，直到無圈。

• 把這些圈的權值最大的去掉，剩下的那個生成樹就是最小生成樹
• 注：當一個圈中有多個相同的最長邊時，不能同時都去掉，只能去掉其中任意一 條邊。最小生成樹有可能不唯一，但最小生成樹的長度相同

2. 加邊法（避圈法）：2.加邊法(避圈法) ：取圖G的n個孤立點｛v1，v2，…， vn}作爲一個支撐圖，從最短邊開始往支撐圖中添加，見圈迴避，直到連通（有n－1條邊）

• 開始是六個頂點，然後根據那張賦權圖，按權值從小到大的順序來進行連接
  

連接完第四條線時，v1→v2和v3→v6權值都是5，但v1→v2連接的話就是圈了，所以只能是v3→v6

3. prim算法構造最小生成樹：
   設置兩個集合P和Q,其中P用於存放的最小生成樹G中的頂點，集合Q存放的最小生成樹G中的邊。令集合P的初值爲 $P={v_1}$ （假設構造最小生成樹時從頂點$v_1$ 出發），集合Q的初值爲$Q=\theta$ 。
   prim算法的思想是，從所有 $p\in P,v \in V-P$ ,的邊中，選取具有最小權值的邊 pv ，將頂點v加入集合P中，將邊pv加入集合Q中，如此不斷重複，直到 P=V 時，最小生成樹構造完畢，這時集合Q中包含了最小生成樹的所有邊。

下面用代碼來解下面最小生成樹
用result 3*n 的第一、二、三行分別表示生成樹邊的起點、終點、權集合。

clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50; a(1,3)=60;
a(2,4)=65; a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45;
a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;
a(5,6)=70; 
a=a+a';a(a==0)=inf;
result=[];p=1;tb=2:length(a);
while size(result,2)~=length(a)-1
   temp=a(p,tb);temp=temp(:);
   d=min(temp);
   [jb,kb]=find(a(p,tb)==d,1); %找第1個最小值
   j=p(jb);k=tb(kb);
  result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
end
result




result =

     1     2     5     4     4     7
     2     5     4     6     7     3
    50    40    50    30    42    45

下面用避圈算法的MATLAB程序計算上題，結果一樣

clc;clear;
a(1,[2,3])=[50,60]; a(2,[4,5])=[65,40]; %這裏給出鄰接矩陣的另外一種輸入方式
a(3,[4,7])=[52,45]; a(4,[5,6])=[50,30];
a(4,7)=42; a(5,6)=70; 
[i,j,b]=find(a);
data=[i';j';b'];index=data(1:2,:);
loop=length(a)-1;
result=[];
while length(result)<loop
   temp=min(data(3,:));
   flag=find(data(3,:)==temp);
   flag=flag(1);
   v1=index(1,flag);v2=index(2,flag);
   if v1~=v2
      result=[result,data(:,flag)];
   end
   index(find(index==v2))=v1;
   data(:,flag)=[];
   index(:,flag)=[];
end
result

result =

     4     2     4     3     1     4
     6     5     7     7     2     5
    30    40    42    45    50    50

某大學準備對其所屬的7各學院辦公室計算機聯網，這個網絡的可能聯通的途徑如圖11- -14所示，圖中V1,——,V7表示7個學院辦公室，圖中的邊爲可能聯網的途徑，邊上所賦的權數爲這條路線的長度，單位爲百米。請設計一個網絡能聯通7個學院辦公室，並使總的線路長度爲最短。

注：這是一個最小生成樹問題，不是最短路問題，因爲他所有的都要連接上。

clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,7)=3; a(1,6)=10;
a(2,7)=3; a(2,3)=1;
a(3,4)=7; a(3,5)=2;a(3,7)=4;
a(4,5)=8; 
a(5,6)=4; a(5,7)=5;
a(6,7)=3;
a=a+a';a(a==0)=inf;
result=[];p=1;tb=2:length(a);
while size(result,2)~=length(a)-1
   temp=a(p,tb);temp=temp(:);
   d=min(temp);
   [jb,kb]=find(a(p,tb)==d,1); %找第1個最小值
   j=p(jb);k=tb(kb);
  result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[ ];
end
result


result =

     1     7     2     3     7     3
     7     2     3     5     6     4
     3     3     1     2     3     7

最大流問題

基本概念

最大流問題(maximum flow problem)，一種組合最優化問題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運輸的流量最大，以取得最好的效果。
如圖所示的網絡圖中定義了一個發點v1，定義了一個收點v7，其餘點v2，v3，…，v6爲中間點，稱爲轉運點。如果有多個發點和收點，則虛設發點和收點轉化成一個發點和收點。圖中的權是該弧在單位時間內的最大通過能力，稱爲弧的容量(capacity)。最大流問題是在單位時間內安排一個運送方案，將發點的物質沿着弧的方向運送到收點，使總運輸量最大。

設$c_{ij}$爲弧（i，j）的容量，$f_{ij}$爲弧（i，j）的流量。
容量是弧（i，j）單位時間內的最大通過能力，流量是弧（i，j）單位時間內的實際通過量，流量的集合$f={f_{ij}}$稱爲網絡的流。發點到收點的總流量記爲v=val(f)，v也是網絡的流量。
注意：流量只是發出點的發出量或流入點的流入量，中間點的流入量和流出量是一樣的。
概念區分
鏈：從發點到收點的一條路線（弧的方向不一定都同向）稱爲鏈。從發點到收點的方向規定爲鏈的方向。
前向弧：與鏈的方向相同的弧稱爲前向弧。
後向弧：與鏈的方向相反的弧稱爲後向弧。
增廣鏈: 設 f 是一個可行流，如果存在一條從vs到vt的鏈，滿足：
1.所有前向弧上$f_{ij}<C_{ij}$
2.所有後向弧上fij>0

Ford-Fulkerson標號算法

• 第一步： 找出第一個可行流，例如所有弧的流量fij =0；

• 第二步：對點進行標號找一條增廣鏈。

  • （1）發點標號（∞）
  • （2）選一個點$v_i$ 已標號並且另一端未標號的弧沿着某條鏈向收點檢查：
    • A.如果弧的方向向前（前向弧）並且有$c_{ij} < f_{ij}$，則vj標號:$θ_j＝c_{ij}－f_{ij}（容量-流量）$
    • B.如果弧的方向指向vi（後向弧）並且有$f_{ji}$>0，則vj標號: $θ_j＝f_{ji}$
      當收點已得到標號時，說明已找到增廣鏈，依據vi 的標號反向跟蹤得到一條增廣鏈。當收點不能得到標號時，說明不存在增廣鏈，計算結束。

• 第三步：調整流量

  • （1）求增廣鏈上點vi 的標號的最小值，得到調整量 $\theta=\min_j{\theta_j}$
    
  • （2）調整流量
    
    得到新的可行流f1，去掉所有標號，返回到第二步從發點重新標號尋找增廣鏈，直到收點不能標號爲止.

定理1 可行流f是最大流的充分必要條件是不存在發點到收點的增廣鏈 .

例 求圖中的發點v1到收點v7的最大流.

先假設已經給定了這個可行流，可以檢查一下，發點和接收點的流量是相同的，都是16；每個點的流入量和流出量也是相同的。

然後進行第一輪標號

• 先看｛$1→2$｝正向弧，8-6=2，圈2上就標號爲2；
• ｛$2→4$｝｛$2→6$｝都是正向弧，但流量已經到達最大流了，所以不能增加了
• ｛$2→5$｝反向弧，所以圈3直接標3-0=3
• ｛$3→4$｝正向弧，圈4標3，當然也可以｛3→6→4｝這樣多一條路徑但結果一樣就不用這個了
• ｛4→7｝正向弧，圈7標號10-3=7

增廣鏈μ＝{(1,2)，(3,2)，(3,4)，(4,7) },μ+={(1,2)，(3,4)，(4,7)},μ－={(3，2)}，調整量爲增廣鏈上點標號的最小值 θ＝min{∞，2，3，3，7}＝2，對其進行調整

這裏有反向弧，調整後是正向弧+2，反向弧-2

第二輪
與第一輪是一樣的，要說的就是｛3→2｝雖然沒有到最大容量，但圈2往後不能增加了，所以直接不用看

增廣鏈μ＝μ＋＝{(1,3)，(3,4)，(4,7) }，調整量爲 θ＝min{∞，4，1，5}＝1
這裏沒有反向弧，經過的弧流量都加1

第三輪

增廣鏈μ＝μ＋＝{(1,3)，(3,6)，(6,4)，(4,7) }，調整量爲 θ＝min{∞，3，1，2，4}＝1
全是正向弧，都加1

經過排查只有這些增廣鏈了，所以可以下結論了
最大流量$\color{Blue}v＝f12+f13＝8+12=20=\color{Red}f67+f47+f57=6+2+7+7$
上面是有向圖，無向圖就更簡單了，直接全是加就完了。

截集-截量法

將圖G＝（V，E）的點集分割成兩部分$V_1,\overline{V_1}$並且$v_s\in{V_1}$以及$v_t\in\overline{V_1}$,則箭尾在V_1箭頭在 $\overline{V_1}$ 的弧集$V_1,\overline{V_1}$稱爲一個截集，截集中所有弧的容量之和稱爲截集的截量。

下圖所示的截集爲$V_1,\overline{V_1}$={(1,2),(3,4),(3,5)}，截量C=6+2+2=10;

爲什麼沒有｛2，3｝呢？是因爲弧內的① ③ 要指向弧外的 ② ④ ⑤ ⑥ ，｛2，3｝是弧外的指向弧內的了。

又如下圖所示的截集爲$V_1,\overline{V_1}$= {（2,4),(3,(5,4)(5,0）}
截量$C(V_1,\overline{V_1})$=4+2+6+9=21

下圖所示的截集爲$V_1,\overline{V_1}$= {(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}
截量C=4+1+2+2=9

所有截量中此截量最小且等於最大流量，此截集稱爲最小截集。經過計算這個圖最小截量就是9，所以最大流量就是9；
$\color{Red}定理2 最大流量等於最小截集的截量。$