MTSP遺傳算法解決

用於問題：每個旅行商的起始位置隨意，且每次都要回到對應的起始點 

基本算法思路：

每個遺傳個體維護兩個基因片段，一個是路徑片段，一個時中斷點片段

 什麼是路徑和中斷點呢？
%     假設有 10 個城市 3 個哥們
%     假設得到路徑 rte = [5 6 9 1 4 2 8 10 3 7], 中斷點 = [3 7]
%     於是可以得到每個哥們的路徑 [5 6 9][1 4 2 8][10 3 7],
%     which designates the routes for the 3 salesmen as follows:
%         . Salesman 1 travels from city 5 to 6 to 9 and back to 5
%         . Salesman 2 travels from city 1 to 4 to 2 to 8 and back to 1
%         . Salesman 3 travels from city 10 to 3 to 7 and back to 10

於是，每個旅行商的路徑就可以用這兩段基因來表示了！

基本算法：

1、設置5000個迭代次數，每一次迭代產生一個最佳個體，若這廝的路徑距離小於歷史的全局最小值，就作爲全局最小值。

2、從本次迭代中的個體，隨機分成n組，從每一組中的最佳個體裏修改基因片段（有的改路徑基因型，有的改中斷點基因型），從而得到子代。

3、子代再一次產生最小路徑值，若再次小於歷史的最小值，則設置他爲全局最小值。再次以2的方法產生子代

4、直到5000次迭代結束爲止。

下面是一段代碼，別人寫的，我寫了註釋：

%基因型設置：
%每個遺傳個體維護兩個基因片段，一個是路徑片段，一個時中斷點片段
% Summary:
%     1. 每個salesmen的起點隨意，並返回其所在起點
%     2. 每一個城市只能有同一個傢伙遍歷
%
% Input:
%     XY %城市座標 N by 2 矩陣（用於畫圖）
%     DMAT %距離矩陣 N by N
%     NSALESMEN 有多少個salesmen
%     MINTOUR 每一個salesmen必須 travel 大於等 MINTOUR 個城市
%     POPSIZE 每一次迭代的種羣個數，必須爲8的倍數，因爲新生代的產生是由 8 個
%             老傢伙產生 8 個新傢伙
%     NUMITER 迭代次數，這個代碼是將這些次數都迭代完的。
%     SHOWPROG 畫圖，如果等於1，就將每一次迭代路徑畫出來
%     SHOWRESULT 畫圖，如果等於1，將最後的結果，城市座標，路徑和歷史總長度
%
% Output:
%     OPTROUTE (integer array) 輸出最佳路徑
%     OPTBREAK (integer array) 輸出中斷點
%     MINDIST (scalar float) 總距離
%
%
% Author: Joseph Kirk
% Email: [email protected]
% Release: 1.5
% Release Date: 11/07/11
% Translator: ze bin zhuo

function varargout = mtsp_ga(xy,dmat,nSalesmen,minTour,popSize,numIter,showProg,showResult)
nargs = 8;
% 下面是默認值處理，也就是說，如果函數中缺乏輸入參數，那麼下面的代碼就自作主張幫你添了。
for k = nargin:nargs-1
    switch k
        case 0
            xy = 10*rand(40,2);
        case 1
            N = size(xy,1);
            a = meshgrid(1:N);
            dmat = reshape(sqrt(sum((xy(a,:)-xy(a',:)).^2,2)),N,N);
        case 2
            nSalesmen = 5;
        case 3
            minTour = 3;
        case 4
            popSize = 80;
        case 5
            numIter = 5e3;
        case 6
            showProg = 1;
        case 7
            showResult = 1;
        otherwise
    end
end


% Verify Inputs  驗證輸入是否可行，驗證原理爲城市個數 N 是否和 距離矩陣的 size相等
[N,dims] = size(xy);
[nr,nc] = size(dmat);
if N ~= nr || N ~= nc
    error('Invalid XY or DMAT inputs!')
end
n = N;

% Sanity Checks    驗證輸入：可以不看
nSalesmen = max(1,min(n,round(real(nSalesmen(1)))));  
%驗證輸入的哥們個數是不是大於1，並且是整數，否則幫你四捨五入改了
minTour = max(1,min(floor(n/nSalesmen),round(real(minTour(1)))));
%驗證輸入的minTour是不是大於1，並且是整數，否則幫你四捨五入改了
popSize = max(8,8*ceil(popSize(1)/8));
%驗證輸入的個體數是否爲8的整數，否則幫你用ceil函數改了
numIter = max(1,round(real(numIter(1))));
%驗證輸入的迭代次數是否大於1，否則幫改了
showProg = logical(showProg(1));
%驗證是否爲1或0，下同
showResult = logical(showResult(1));

% Initializations for Route Break Point Selection
nBreaks = nSalesmen-1;    %設置中斷點個數。
dof = n - minTour*nSalesmen;          % degrees of freedom
addto = ones(1,dof+1);
for k = 2:nBreaks
    addto = cumsum(addto);
end
cumProb = cumsum(addto)/sum(addto);

% Initialize the Populations
popRoute = zeros(popSize,n);         % population of routes
popBreak = zeros(popSize,nBreaks);   % population of breaks
popRoute(1,:) = (1:n);
popBreak(1,:) = rand_breaks();
for k = 2:popSize
    popRoute(k,:) = randperm(n);
    popBreak(k,:) = rand_breaks();
end

%畫圖時，將每一個哥們走的路用不用顏色標出來。
pclr = ~get(0,'DefaultAxesColor');
clr = [1 0 0; 0 0 1; 0.67 0 1; 0 1 0; 1 0.5 0];
if nSalesmen > 5
    clr = hsv(nSalesmen);
end

% 開始GA算法啦
globalMin = Inf;
totalDist = zeros(1,popSize);  %初始化總距離，是一個行向量，每一個個體對一應一個總距離
distHistory = zeros(1,numIter); %歷史距離，用於比較最好的距離，每一次迭代，都產生一
%最好距離作爲歷史距離存起來。
tmpPopRoute = zeros(8,n);
%暫時變量，用完就丟。用於產生新個體的，（路徑的基因型）
tmpPopBreak = zeros(8,nBreaks);
%同上，用於產生新的中斷點的基因型
newPopRoute = zeros(popSize,n);
%新生代的路徑基因型       
newPopBreak = zeros(popSize,nBreaks);
%新生代的斷點基因型
if showProg
    pfig = figure('Name','MTSP_GA | Current Best Solution','Numbertitle','off');
end
%畫圖：初始點
for iter = 1:numIter
    % Evaluate Members of the Population
    for p = 1:popSize  %遍歷所有的個體
        d = 0;
        pRoute = popRoute(p,:);  
        %將相應的個體的路徑基因型取出
        pBreak = popBreak(p,:);
        %將相應的個體的中斷點基因型取出
        rng = [[1 pBreak+1];[pBreak n]]';
        %計算每個哥們的距離之用
        %下面的迭代用於計算每個個體的對應的所有哥們的總距離
        for s = 1:nSalesmen
            d = d + dmat(pRoute(rng(s,2)),pRoute(rng(s,1)));
            for k = rng(s,1):rng(s,2)-1
                d = d + dmat(pRoute(k),pRoute(k+1));
            end
        end
        %把每個個體對應的所有哥們的總距離放在向量totalDist中
        totalDist(p) = d;
    end

    % 找出總距離最短的那個個體用於產生新個體
    [minDist,index] = min(totalDist);
    %記錄每一步迭代的最短距離到一個向量中
    distHistory(iter) = minDist;
    %從歷史距離中找出最小的那個作爲globalMin
    if minDist < globalMin
        %若本次迭代時的最佳距離小於歷史globalMin
        %就把他畫在圖上，並記錄一共畫了幾次。
        globalMin = minDist;
        optRoute = popRoute(index,:);
        optBreak = popBreak(index,:);
        rng = [[1 optBreak+1];[optBreak n]]';
        %畫圖代碼
        if showProg
            figure(pfig);
            for s = 1:nSalesmen
                rte = optRoute([rng(s,1):rng(s,2) rng(s,1)]);
                if dims > 2, plot3(xy(rte,1),xy(rte,2),xy(rte,3),'.-','Color',clr(s,:));
                else plot(xy(rte,1),xy(rte,2),'.-','Color',clr(s,:)); end
                title(sprintf('Total Distance = %1.4f, Iteration = %d',minDist,iter));
                hold on
            end
            hold off
        end
    end

    % 子代個體的產生過程
    % 產生一個隨機序列，用於挑選隨機的8個父代產生子代
    % 8個傢伙來交配產生子代，（其實也不算交配啦！）
    randomOrder = randperm(popSize);
    for p = 8:8:popSize
        rtes = popRoute(randomOrder(p-7:p),:);
        brks = popBreak(randomOrder(p-7:p),:);
        %隨機挑選的8個父代
        dists = totalDist(randomOrder(p-7:p));
        [ignore,idx] = min(dists); 
        %從這8個父代中挑選出最佳父代，用於產生8個子代。
        bestOf8Route = rtes(idx,:);
        bestOf8Break = brks(idx,:);
        routeInsertionPoints = sort(ceil(n*rand(1,2)));
        %從中挑選出基因序列的2個位置
        %這兩個位置用來從父代中產生新的基因新的
        I = routeInsertionPoints(1);
        J = routeInsertionPoints(2);
        for k = 1:8 % Generate New Solutions
            tmpPopRoute(k,:) = bestOf8Route;
            tmpPopBreak(k,:) = bestOf8Break;
            switch k
                case 2 % Flip
                    %將最佳父代的基因型從上面兩個位置中間的片段反轉，產生一個子代。
                    tmpPopRoute(k,I:J) = tmpPopRoute(k,J:-1:I);
                case 3 % Swap
                    %交換這兩個片段的基因，產生新子代。
                    tmpPopRoute(k,[I J]) = tmpPopRoute(k,[J I]);
                case 4 % Slide
                    % 自己看吧，描述不出
                    tmpPopRoute(k,I:J) = tmpPopRoute(k,[I+1:J I]);
                    %上面都是調整路徑基因型的
                    %下面用於調整中斷點基因型，過程差不多，大家可以自己看的
                case 5 % Modify Breaks
                    %隨機產生，跟最佳父代沒關係的一代。
                    tmpPopBreak(k,:) = rand_breaks();
                case 6 % Flip, Modify Breaks
                    tmpPopRoute(k,I:J) = tmpPopRoute(k,J:-1:I);
                    tmpPopBreak(k,:) = rand_breaks();
                case 7 % Swap, Modify Breaks
                    tmpPopRoute(k,[I J]) = tmpPopRoute(k,[J I]);
                    tmpPopBreak(k,:) = rand_breaks();
                case 8 % Slide, Modify Breaks
                    tmpPopRoute(k,I:J) = tmpPopRoute(k,[I+1:J I]);
                    tmpPopBreak(k,:) = rand_breaks();
                otherwise % Do Nothing
            end
        end
        newPopRoute(p-7:p,:) = tmpPopRoute;
        newPopBreak(p-7:p,:) = tmpPopBreak;
    end
    popRoute = newPopRoute;
    popBreak = newPopBreak;
end

if showResult
% Plots
    figure('Name','MTSP_GA | Results','Numbertitle','off');
    subplot(2,2,1);
    if dims > 2, plot3(xy(:,1),xy(:,2),xy(:,3),'.','Color',pclr);
    else plot(xy(:,1),xy(:,2),'.','Color',pclr); end
    title('City Locations');
    subplot(2,2,2);
    imagesc(dmat(optRoute,optRoute));
    title('Distance Matrix');
    subplot(2,2,3);
    rng = [[1 optBreak+1];[optBreak n]]';
    for s = 1:nSalesmen
        rte = optRoute([rng(s,1):rng(s,2) rng(s,1)]);
        if dims > 2, plot3(xy(rte,1),xy(rte,2),xy(rte,3),'.-','Color',clr(s,:));
        else plot(xy(rte,1),xy(rte,2),'.-','Color',clr(s,:)); end
        title(sprintf('Total Distance = %1.4f',minDist));
        hold on;
    end
    subplot(2,2,4);
    plot(distHistory,'b','LineWidth',2);
    title('Best Solution History');
    set(gca,'XLim',[0 numIter+1],'YLim',[0 1.1*max([1 distHistory])]);
end

% Return Outputs
if nargout
    varargout{1} = optRoute;
    varargout{2} = optBreak;
    varargout{3} = minDist;
end

    % 改函數用於隨機的產生中斷點。
    function breaks = rand_breaks()
        if minTour == 1 % No Constraints on Breaks
            tmpBreaks = randperm(n-1);
            breaks = sort(tmpBreaks(1:nBreaks));
        else % Force Breaks to be at Least the Minimum Tour Length
            nAdjust = find(rand < cumProb,1)-1;
            spaces = ceil(nBreaks*rand(1,nAdjust));
            adjust = zeros(1,nBreaks);
            for kk = 1:nBreaks
                adjust(kk) = sum(spaces == kk);
            end
            breaks = minTour*(1:nBreaks) + cumsum(adjust);
        end
    end
end

demo在這裏呢

     n = 35;
    xy = 10*rand(n,2);
    nSalesmen = 5;     
    minTour = 3;
    popSize = 80;
    numIter = 5e3;    
    a = meshgrid(1:n);
    dmat = reshape(sqrt(sum((xy(a,:)-xy(a',:)).^2,2)),n,n); 
    [optRoute,optBreak,minDist] = mtsp_ga(xy,dmat,nSalesmen,minTour,popSize,numIter,1,1);

代碼中的產生新個體的算法解釋

在實現遺傳算法的時候，這個代碼並沒有用到兩個個體的交叉互換，而是用了一個個體通過變異產生新個體。下面是變異函數的幾點解釋：

希望能夠對讀者的理解略盡綿薄之力

 

運行結果這裏呢