Hust oj 1429 凸多邊形（叉乘+二分）

凸多邊形

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Description

已知一個凸多邊形A（包含n個點，點按照順時針給出），和一個點集B（包含m個點），請判斷這m個點是否都嚴格在凸多邊形A內部。

Input

輸入包含多組測試數據。

對於每組測試數據：

第1行，包含一個整數n (3 ≤ n ≤ 10⁵)代表着凸多邊形A的點的數量。

接下來n行每行包含一個座標(x, y) (-10⁹ ≤ x, y ≤ 10⁹) 表示這個凸多邊形，點按照順時針給出。

第n + 2行，包含一個整數m (3 ≤ m ≤ 10⁵)代表着點集B的點的數量。

接下來m行每行包含一個座標(x, y) (-10⁹ ≤ x, y ≤ 10⁹) 表示這個點集B。

處理到文件結束

Output

對於每組測試數據：

第1行，如果點集B都嚴格在凸多邊形A內，輸出YES，否則輸出NO。

Sample Input

4

-10 -10

-10 10

10 10

10 -10

3

0 0

1 1

2 2

4

-10 -10

-10 10

10 10

10 -10

3

100 100

1 1

2 2

Sample Output

YES

NO

正常暴力用叉乘跑的話肯定會超時，這裏學習到了一種新姿勢解決這類問題

計算幾何之判斷點是否在多邊形內，

判斷點是否在多邊形內有多種方法：射線法，角度和判斷法，改進弧長法還有這次用到的二分法。

前三者的時間複雜度均爲O(n)，此方法複雜度僅爲O（logn）。

而且對於判斷很多點是否在多邊形內，就可以用這種方法了，耗時少。

原理：

將一個多邊形，以其中一個點爲原點，開始與其他各點相連並延長做射線，則會形成許多個三角形區域。（如左圖）

 

這樣我們可以先判斷點在哪兩條向量之間。用二分查找，可以很快搜索到。

當然，首先要判斷點是否在最左邊向量左側或者最右邊向量右側，如是，則點不在多邊形內。

以右圖爲例，我們找到紫色點在左數第一個三角形區域內，綠色點在左數第二個三角形區域內。

然後，再判斷下圖所示線段與 所判斷點的位置關係。

 

綠色的線段可以判斷綠色的點，左邊紫色的點也由相應的線段來判斷位置關係。

這樣可以判斷點是否在多邊形內啦。

總結一下：

①建立一個個三角形區域，用其中兩條邊判斷點所在大體區域。

②用第三條邊來判斷點是否在多邊形內。

二分查找就是用在了第一條的地方，用來查找大體區域位置。

明白了這個，就可以做相應的題目來練習一下了！

就是這道題~。~

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int Maxn = 100005;
struct Point
{
    LL x;
    LL y;
}a[Maxn],b[Maxn];
LL n,m;

LL cross(Point p0,Point p1,Point p2)
{
    return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}

int main()
{
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
        }
        scanf("%lld",&m);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);
        }
        int flag = 0;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            if(cross(a[0],a[1],b[i]) >= 0 || cross(a[0],a[n-1],b[i]) <= 0)
            {
                flag = 1;
                break;
            }
            int left = 1;
            int right = n - 1;
            while(left < right)
            {
                int mid = (right + left) >> 1;
                if(cross(a[0],a[mid],b[i]) > 0)
                    right = mid;
                else
                    left = mid + 1;
            }
            if(cross(a[left],a[left-1],b[i]) <= 0)
            {
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            printf("NO\n");
        else
            printf("YES\n");
    }
    return 0;
}