看拉式變換視頻有感

原視頻
原視頻很搞笑的用個拉拉絲（拉拉鎖）來介紹拉式變換,依次給出了下面幾個公式：
第一個公式：$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+....$
即

第二個公式：$A(x)=a_0+a_1 x^1+a_2 x^2+...+a_nx^n$
第三個公式（函數 $e^x$ 在 $x=0$ 處的泰勒展開，或者說是函數 e^x 的麥克勞林級數）：$A(x)=1+\frac{1}{1!}x^1+\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{3!}x^3+...=e^x$
現在，讓離散求和變成連續求和，即不再是變量 n=0,1,2,3…，而是另外定義一個變量t ，並且有$0\leq t<\propto$ ，即 t 可以爲 $[0,\propto)$ 中的任意數。即

上式與第一個區別在於用 t 取替代了 n ；用積分符號替代了累加符號。
將以 x 爲底數的指數替換成以 e 爲底數的指數形式：
即

既然寫出這個積分當然希望其可解，或者說收斂。而只有當 x 是一個小於 1的數時，即自然指數函數的冪爲負數時，該積分纔有可能收斂，所以這裏要求 $x<1$ 。作爲對數，還需要滿足 $x>0$，所以這裏有 $x>0$ 。顯然，當 $0<x<1$時， $lnx<0$ 。
令 $s=-ln x$