如何深入淺出的理解 Kosaraju

前言

今天想起來Kosaraju，網上關於這個算法的介紹比較少。（畢竟Tarjan太強了）。但是Tarjan和Kosaraju的複雜度都是$O(V+E)$的，Kosaraju的常數要大一點。（網上有的博客說kosaraju會卡爆棧，個人感覺不會，退化成鏈的情況Tarjan和Kosaraju都會一搜到底）。

那爲什麼Kosaraju常數大還要學它呢，用Tarjan不好嗎？

因爲它簡單、好理解啊。畢竟Tarjan難理解是出了名的。

正題

一些必要概念

網上介紹各種概念五花八門，不夠深入淺出。首先要理解這幾個概念：

• 前序序列（從一點開始遍歷，結點進入的序列）
• 後序序列（從一點開始遍歷，結點退出的序列）
• 逆後序序列（就是後序序列的逆序，沒什麼高深的意思，所以百度搜不到 ）
• 圖$G$
• 反圖$G'$（將圖$G$的各個邊反過來重新建圖，出邊改入邊）
• 強連通分量SCC（移步百度）

求前序序列和後序序列的代碼（如果上面不理解，看看代碼就懂了）

int n, dcnt, fcnt, c[N], d[N], vis[N], f[N];
vector<int> G[N];
void dfs(int x) {
    d[x] = ++dcnt;
    vis[x] = 1;
    for (auto y : G[x]) {
        if (!vis[y]) dfs(y);
    }
    v[x].n = ++fcnt;
}
void solve() {
    dcnt = fcnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) dfs(i);
    }
}

Kosaraju如和實現

兩遍DFS：

• 第一遍，求出圖G的逆後序序列。

• 第二遍，根據逆後序序列，在反圖$G'$上進行DFS，每次能dfs點就在一個強連通分量裏。

代碼：

int n, c[N], dfn[N], vis[N], dcnt, scnt;
vector<int> G1[N], G2[N];  // G1 原圖，G2 反向圖
void dfs1(int x) {         // 求後序序列
    vis[x] = 1;
    for (auto y : G1[x]) {
        if (!vis[y]) dfs1(y);
    }
    dfn[++dcnt] = x;
}
void dfs2(int x) {
    c[x] = scnt;
    for (auto y : G2[x]) {
        if (!c[y]) dfs2(y);
    }
}
void kosaraju() {
    dcnt = scnt = 0;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) dfs1(i);
    }
    // 反過來遍歷dfn就是逆後序序列
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        if (!c[dfn[i]]) ++scnt, dfs2(dfs[i]);
    }
}

Why？如何理解

詳細的數學證明請參考《算法導論》，這裏給出如何一種正確理解的方法。

首先要知道：

• 原圖和反圖具有相同的SCC（強連通分量）。

那爲什麼要求後序序列或者逆後序序列呢？

實際上是在求一個拓撲排序，但是帶環圖沒有拓撲排序的概念，這個逆後序序列就差不多是原圖縮點後的拓撲排序序列。

如圖所示，從1號節點開始逆後序序列爲：8、1、3、2、7、4、5、6

縮點後就是：

此圖的拓撲排序爲：S3（8）、S2（1、3、2）、S1（7、4、5、6）

然後如果在反圖上按照逆拓撲序列遍歷的話每次只會遍歷到一個SCC。這樣，這個算法就可以正常求出所有強連通分量了

問題

爲什麼要在反圖上做逆後序序列？在原圖上做後序序列不可以嗎？

是這樣的，上述給的例子，在原圖上做後序序列是完全可以的。但只要稍加改動，原圖的逆序序列有很多種（並不唯一）。比如：

• 逆後序序列1：8、1、3、2、7、4、5、6
• 逆後序序列2：8、1、3、7、4、5、6、2

序列1、2都是合法的逆序序列。上面介紹用的逆後序序列1。

他們的後序序列：

• 後序序列1：6、5、4、7、2、3、1、8

• 後序序列2：2、6、5、4、7、3、1、8

這裏大家需要手動模擬一下（很簡單），如果在原圖上採用後序序列2，會得到錯誤的答案。但是在反圖上採用逆後序序列2，答案仍舊正確。

因此我們只能在反圖上做逆後序序列。