材料力学
圆轴扭转、非圆截面扭转、开口薄壁杆件扭转、闭口薄壁杆件扭转
圆轴的塑性扭转
1.非圆截面扭转
矩形梁进行扭转，边缘处有最大切应力。在边缘上，最大切应力位于长边的中点处。
短边处的最大切应力τ1与长边处的最大切应力τ2都位于他们的中点处，但后者大于前者。
当h/b > 10为狭长矩形，τ max = T/(h*δ**2/3)，φ = TL/(G*h*δ**3/3)，实际上可视作长边上的切应力相等，都等于τ1，短边上的切应力相等，都等于τ2，只有在四个点附近才迅速减小为0
2.开口薄壁杆件的自由扭转
沿用上一节的狭长矩形的推论。
槽钢、工字钢
可以将上图分解为三个矩形，那么It= (h1*δ1**3+h2*δ2**3+h3*δ3**3)/3 h为长边，δ为短边
注：It为抗扭惯性矩，而圆截面的抗扭惯性矩It等于极惯性矩Ip。
一般，工字钢是有圆角的，翼缘内测也不是直边而是有斜率的，所以需要引入修正系数来计算It=1.2*(h1*δ1**3+h2*δ2**3+h3*δ3**3)/3 ，不同截面的钢有不同的修正系数。
每个矩形上的的扭转切应力分别为： τ1 = T*δ1/It τ2 = T*δ2/It τ3 = T*δ3/It
所以，τ_max = max(τ1,τ2,τ3)
如何绘制边缘处的切应力方向？
则分别画出每个矩形部分的切应力，组合起来便是下图。这只是边缘处的切应力，内部的切应力并未画出。
如下图所示，壁厚中线为曲线的开口薄壁杆件，可以将其截面展直，作为狭长矩形截面来处理。
3.闭口薄壁杆件的自由扭转
上图是一个椭圆单孔管状杆件的截面。
对于该问题认为沿壁厚δ，剪应力τ均匀分布。
t = τ*δ，t称为剪力流
截面上的扭矩与剪应力的关系：T = 2t*w = 2τ*δ*w w为截面壁厚中线所围的面积，即如果是圆环，那么w = Pi*(R2**2 - R1**2)
那么τ max = T/(2*w*δmin)
什么是自由扭转？
拧毛巾，两端同时施加一个反方向的扭矩，这叫自由扭转。即在杆件两端施加力偶扭矩，称为自由扭转。
T为横截面上的扭矩，Me为外力偶扭矩，自由扭转时每个横截面上 T=Me
还有约束扭转，拧毛巾，一端固定不动，一端施加扭矩。
约束扭转与自由扭转相比，横截面上还会产生正应力，即约束扭转会使得杆件弯曲。
横截面为实心矩形，实心椭圆的一些杆件，正应力很小，此时约束扭转可视作自由扭转。
4. 圆轴的塑性扭转
边缘处有最大应力。随着扭矩的增加，当最大应力达到剪切屈服极限，则边缘处被屈服，且其应力不会变化保持为τs。扭矩继续增加，屈服面往里扩散，且上面的应力保持为τs。最终整个圆轴面被屈服(除圆心处很小的区域外)，此时的扭矩称为极限扭矩，此时的状态被称为极限状态。
边缘开始屈服的扭矩为T1，极限状态时的扭矩为T2，T2 = T1*1/3 + T1
此时圆轴丧失了该扭矩转向的承载能力。当扭矩不再增大，变形却持续增大。即T2为单方向的极限承载力矩。
但是圆轴在扭矩转向的反方向却并没有丧失承载能力。
以上讨论4个方面都是自由扭转。
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弹性力学
等截面直杆的扭转，椭圆截面杆的扭转、矩形截面杆的扭转
属于空间问题，弹性力学求解问题就是应力，应变，位移三种变量列出的方程：平衡方程，物理方程，几何方程，再加上边界条件来求解问题。同时还引入一个应力函数Φ
薄膜比拟
弹性力学与材料力学在扭转问题中都提到了薄膜比拟。
比拟法包括薄膜比拟等，两种物理现象的微分方程形式相同，则可研究其中较易观测试验的物理现象，模拟另—种难以观测试验的物理现象，使试验工作大为简化。薄膜比拟由普朗克提出。研究薄膜的受压来得出杆件的弯曲，扭转。
普朗克
马克斯·普朗克：量子力学
路德维希·普朗特：近代力学奠基人，学生有von karmann
普朗特让一个博士设计一个水槽，使能观察到圆柱体后面的流动分裂，用实验来核对按边界层理论计算出来的分裂点，却没想到出现了圆柱振动。最后von karmann对这个问题很感兴趣，就三星期写出来两篇论文。