【数学】B084_LC_可被 K 整除的最小全 1 整数（set 判重 / 数学推导）

一、Problem

给定正整数 K，你需要找出可以被 K 整除的、仅包含数字 1 的最小正整数 N。

返回 N 的长度。如果不存在这样的 N，就返回 -1。

示例 1：
输入：1
输出：1
解释：最小的答案是 N = 1，其长度为 1。

输入：2
输出：-1
解释：不存在可被 2 整除的正整数 N 。

提示：

1 <= K <= 10^5

二、Solution

方法一：set 判重

思路

只包含 1 的数字的推导方法是：N = N × 10 + 1（N 初值为 1），但为防止溢出，我们在外面增加了一层取模：N = (N × 10 + 1) % K)

如果求解 N的过程中，遇到了重复数字，那么证明该数字永远不能被 K 整除了，返回 -1 即可

特判：当 N 为 1 且 K 为 1 时，N 可被 K 整除，应立即返回 1

class Solution {
    public int smallestRepunitDivByK(int K) {
        int N = 1 % K, len = 1;
        Set<Integer> seen = new HashSet<>();
        while (N != 0) {
            if (seen.contains(N))
                return -1;
            seen.add(N);
            N = (N * 10 + 1) % K;
            len++;
        }
        return len;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(...)$，
• 空间复杂度：$O(...)$，

---

方法二：数学推导 = 空间压缩

别人的给出的证明说 K = 2 或 5 的倍数时，全 1 数字不可能被此时的 K 除尽，其它一样…

class Solution {
    public int smallestRepunitDivByK(int K) {
        if (K % 2 == 0 || K % 5 == 0)
            return -1;
        int N = 1, len = 1;
        while (N % K != 0) {
            N = (N * 10 + 1) % K;
            len++;
        }
        return len;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(...)$，
• 空间复杂度：$O(...)$，