题目
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
来源：力扣（LeetCode）
思路
首先，假设两个有序数组的长度分别为m和n，由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶性不确定，因此需要分情况来讨论：对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。为了简化代码，不分情况讨论，使用一个技巧，分别找第 (m+n+1) / 2 个，和 (m+n+2) / 2 个，然后求其平均值，这对奇偶数都是适用的。若 m+n 为奇数的话，那么 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相当于两个相同的数字相加再除以2，还是其本身。
其次，定义一个函数在两个有序数组中找到第K个元素，如何实现找到第K个元素？首先，为了避免拷贝产生新的数组从而增加时间复杂度，使用两个变量i和j分别来标记数组 nums1 和 nums2 的起始位置。然后来处理一些小问题，比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时，说明其所有数字均已经被淘汰，相当于一个空数组，实际上就变成了在另一个数组中找数字，当然直接就可以找出来。还有就是，如果 K=1 的话，只要比较 nums1 和 nums2 的起始位置i和j上的数字就可以了。难点就在于一般的情况怎么处理？因为需要在两个有序数组中找到第K个元素，为了加快搜索的速度，可以使用二分法，本题就是要对K二分，意思是需要分别在 nums1 和 nums2 中查找第 K/2 个元素，注意，这里由于两个数组的长度不定，所以有可能某个数组没有第 K/2 个数字，所以需要先 检查 一下，数组中到底存不存在第 K/2 个数字，如果存在就取出来，否则就赋值一个整型最大值（目的是要在 nums1 或者 nums2 中先淘汰 K/2 个较小的数字，判断的依据就是看 midVal1 和 midVal2 谁更小，但如果某个数组的个数不到 K/2 个，自然无法淘汰，所以将其对应的 midVal 值设为整型最大值，以保证其不会被淘汰），若某个数组没有第 K/2 个数字，则淘汰另一个数组的前 K/2 个数字即可。
举例说明，比如 nums1 = {3}，nums2 = {2, 4, 5, 6, 7}，K=4，要找两个数组混合中第4个数字，则分别在 nums1 和 nums2 中找第2个数字，而 nums1 中只有一个数字，不存在第二个数字，则 nums2 中的前2个数字可以直接跳过，为啥呢，因为要求的是整个混合数组的第4个数字，不管 nums1 中的那个数字是大是小，第4个数字绝不会出现在 nums2 的前两个数字中，所以可以直接跳过。
最后，有没有可能两个数组都不存在第 K/2 个数字呢，这道题里是不可能的，因为K不是任意给的，而是给的 m+n 的中间值，所以必定至少会有一个数组是存在第 K/2 个数字的。最后就是二分法的核心，比较这两个数组的第 K/2 小的数字 midVal1 和 midVal2 的大小，如果第一个数组的第 K/2 个数字小的话，那么说明要找的数字肯定不在 nums1 中的前 K/2 个数字，可以将其淘汰，将 nums1 的起始位置向后移动 K/2 个，并且此时的K也自减去 K/2，调用递归，举个例子来说，比如 nums1 = {1, 3}，nums2 = {2, 4, 5}，K=4，要找两个数组混合中第4个数字，那么分别在 nums1 和 nums2 中找第2个数字，nums1 中的第2个数字是3，nums2 中的第2个数字是4，由于3小于4，所以混合数组中第4个数字肯定在 nums2 中，可以将 nums1 的起始位置向后移动 K/2 个。反之，淘汰 nums2 中的前 K/2 个数字，并将 nums2 的起始位置向后移动 K/2 个，并且此时的K也自减去 K/2，调用递归即可。
C++代码
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
{
int m = nums1.size(), n = nums2.size(), left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
int findKth(vector<int>& nums1, int i, vector<int>& nums2, int j, int k)
{
if (i >= nums1.size())
return nums2[j + k - 1];
if (j >= nums2.size())
return nums1[i + k - 1];
if (k == 1)
return min(nums1[i], nums2[j]);
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.size()) ? nums1[i + k / 2 - 1] : INT_MAX;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.size()) ? nums2[j + k / 2 - 1] : INT_MAX;
if (midVal1 < midVal2)
{
return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
}
else
{
return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
}
}
};