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1.O(n²)算法

定義dp[i]：以ai爲結尾的最長上升子序列的長度

以ai結尾的上升子序列是：

①只包含ai的子序列

②在滿足j<i並且a_j<a_i的以a_j爲結尾的上升子列末尾，追加上a_i後得到的子序列

綜合以上兩種情況，便可以得到遞推關係式：

dp[i] = max{1, dp[j]+1| j<i且aj<ai}

 代碼：

//O(n^2)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 30010;
int dp[maxn], a[maxn];
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=0;i<n;++i)  
            scanf("%d",&a[i]);  
        int ans=0;  
        for(int i=0;i<n;++i)  
        {  
            dp[i]=1;        //只包含ai的子序列
            for(int j=0;j<i;++j)  
            {  
                if(a[j]<a[i])        //在滿足j<i並且aj<ai的以aj爲結尾的上升子列末尾，追加上ai後得到的子序列
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);  
            }   
            ans=max(dp[i],ans);  
        }  
        printf("%d\n",ans);  
	}
	return 0;
} 

2.O(nlogn)算法

定義dp[i]：長度爲i+1的上升子序列中末尾元素的最小值（不存在就是INF）

最開始全部dp[i]的值都初始化爲INF。然後由前到後逐個考慮數列的元素，對於每個a_j，如果i=0或者dp[i-1]<a_j的話，就用dp[i]=min(dp[i],a_j)進行更新。最終找出使得dp[i]<INF的最大的i+1就是結果了。

//O(nlogn)
#include <cstdio>  
#include <algorithm>  
#define INF 0x3f3f3f  
using namespace std;  
int dp[30010],a[30010];  
int main()  
{  
    int n,i,j;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        for(i=0;i<n;++i)  
        {  
            scanf("%d",&a[i]);  
            dp[i]=INF;             //最開始全部dp[i]的值都初始化爲INF。
        }  
        for(i=0;i<n;++i)  
            *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];    //對於每個aj，如果i=0或者dp[i-1]<aj的話，就用dp[i]=min(dp[i],aj)進行更新
        printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);    //最終找出使得dp[i]<INF的最大的i+1就是結果了
    }  
    return 0;  
}