淺談矩陣乘法與矩陣二次型

     矩陣乘法是一種很有意思的運算，因爲說是乘法不如說是加法，或者說是向量的線性組合的過程。兩個矩陣的乘積C=AB,對於這個公式的線性組合方面理解有兩種，一種是從左邊看:，意思是矩陣C的第i行是B的行向量的線性組合，組合係數是A的第i行。另外一個很受歡迎的解釋，是從右邊理解，就是說矩陣C的第j列是A的各個列的線性組合，組合係數是矩陣B的第j列的相應元素。

   下面談一下矩陣二次型，分兩種情況，一種是矩陣A兩邊左乘和右乘的是向量X，一種是矩陣A兩邊左乘和右乘的是矩陣X。 

Case 1：假設A左乘和右乘的列向量爲

，

那麼矩陣二次型運算爲：

Case2 ：假設A左乘和右乘的矩陣爲

於是，

利用矩陣乘法以及秩1矩陣的特性，我們對矩陣A有：

於是

很多時候我們需要的只不過是對角線的元素的和，也就是矩陣的跡，於是我們對上面的矩陣求跡：

我們知道矩陣和的跡等於各個矩陣跡的和。在這裏各個矩陣都是秩爲1的矩陣，而秩爲1矩陣的跡有下面的運算法則：

假設矩陣M是由兩個矢量m和n相乘得到的，M的秩爲1，那麼

於是，對於公式1，我們有：

在這裏Xi指的是X的第i列。