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主要內容：
1、QR分解定義
2、QR分解求法
3、QR分解與最小二乘
4、Matlab實現
一、QR分解
定義：
實數矩陣 A 的 QR 分解是把 A 分解爲Q、R，這裏的 Q 是正交矩陣（意味着 QTQ = I）而 R 是上三角矩陣。類似的，我們可以定義 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。
更一般的說，我們可以因數分解複數 m×n 矩陣（有着 m ≥ n）爲 m×n 酉矩陣（在 Q∗Q = I 的意義上）和n×n 上三角矩陣的乘積。
如果 A 是非奇異的，則這個因數分解爲是唯一，當我們要求 R 的對角是正數的時候。
二、QR分解的求法
QR分解的實際計算有很多方法，例如Givens旋轉、Householder變換，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一種方法都有其優點和不足。
三、QR分解與最小二乘
最小二乘：
對給定數據點{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函數類Φ 中，求p(x）∈Φ，使誤差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。從幾何意義上講，就是尋求與給定點 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距離平方和爲最小的曲線y=p(x)。函數p(x)稱爲擬合函數或最小二乘解，求擬合函數p(x)的方法稱爲曲線擬合的最小二乘法。
最小二乘的矩陣形式：Ax=b，其中A爲nxk的矩陣，x爲kx1的列向量，b爲nx1的列向量。如果n>k（方程的個數大於未知量的個數），這個方程系統稱爲Over Determined System，如果n<k（方程的個數小於未知量的個數），這個系統就是Under Determined System。
最小二乘與QR分解:
正常來看，這個方程是沒有解的，但在數值計算領域，我們通常是計算 min ||Ax-b||，解出其中的x。比較直觀的做法是求解A'Ax=A'b，但通常比較低效。其中一種常見的解法是對A進行QR分解（A=QR），其中Q是nxk正交矩陣（Orthonormal Matrix），R是kxk上三角矩陣（Upper Triangular Matrix），然後min ||Ax-b|| = min ||QRx-b|| = min ||Rx-Q'b||，用MATLAB命令x=R\(Q'*b）可解得x。
最小二乘的Matlab實現：
① 一次函數使用polyfit（x,y,1）
②多項式函數使用 polyfit（x,y,n），n爲次數
擬合曲線
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.5:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
計算結果爲：
p =0.5614 0.8287 1.1560
即所得多項式爲y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560
③非線性函數使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
四、QR分解的Matlab實現
- [Q,R]=qr(A) or [Q,R]=qr(A,0) (二者的區別自行help或doc一下)
- 其中Q代表正規正交矩陣，
- 而R代表上三角形矩陣。
此外，原矩陣A不必爲正方矩陣； 如果矩陣A大小爲n*m，則矩陣Q大小爲n*m，矩陣R大小爲m*m。
五、參考文獻：
http://www.360doc.com/content/13/1015/09/12712639_321543226.shtml