矩陣的三角分解

一、三角矩陣的分類和性質

正線上三角矩陣：矩陣主對角線下方元素均爲0的矩陣
單位上三角矩陣：矩陣主對角線下方元素均爲0且對角線上元素爲1的矩陣
幾點性質：

• 設$A,B$爲三角矩陣，且$C=A*B$，則$c_{ii}=a_{ii}*b_{ii}$
• 設$A$爲三角矩陣，且$C=A^{-1}$，則$c_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$
• 三角矩陣的和，差，乘積仍爲三角矩陣
• 單位三角矩陣的乘積，逆仍爲單位三角陣

二、$n$階方陣的三角分解

$\quad$設$A$是$n$階滿秩方陣，則$A$可以唯一地分解爲酉矩陣(正交矩陣)和正線三角復矩陣(正線三角實矩陣)的乘積。$A=U_1R=LU_2$，其中，$U_1$是酉矩陣(正交矩陣)，$R$是正線上三角復矩陣(正線上三角實矩陣)，$L$是正線下三角復矩陣(正線下三角實矩陣)，$U_2$是酉矩陣(正交矩陣)。