leetcode837. 新21點/動態規劃

愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲，描述如下：

愛麗絲以 0 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 [1, W] 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計，其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具有相同的概率。

當愛麗絲獲得不少於 K 分時，她就停止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 N 的概率是多少？

示例 1：

輸入：N = 10, K = 1, W = 10
輸出：1.00000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。

示例 2：

輸入：N = 6, K = 1, W = 10
輸出：0.60000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
在 W = 10 的 6 種可能下，她的得分不超過 N = 6 分。

示例 3：

輸入：N = 21, K = 17, W = 10
輸出：0.73278

提示：

• 0 <= K <= N <= 10000
• 1 <= W <= 10000
• 如果答案與正確答案的誤差不超過 10^-5，則該答案將被視爲正確答案通過。
• 此問題的判斷限制時間已經減少。

來源：力扣（LeetCode）
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基本思想

這道題當初的思想是枚舉所有的結果，並統計次數；並計算結果中不超過N的次數，二者相比求概率。這個思想的錯誤在於：每一種組合並不是等概率出現的。
例如：K = 3, N = 3, W = 2。對於 1，2 和1，1，2，這兩種情況出現的概率不相等前者出現的概率是1/4，後者是1/8.

動態規劃：

• dp[i]：當前分數爲 i 時，獲勝的概率。也就是說，當前抽取的和爲 i ,再抽取一張有多大概率能獲勝。那麼最終結果就是dp[0]
• i 的範圍：i 最小爲0，最大爲 K - 1 + W（也就是當前和爲K - 1，還能在抽取一次，再抽取一次的結果最大是W）
• 初始值：當i >= K 且 i < = N時，dp[i] = 1;當 i >= K且i > N時，dp[i] = 0。（說明：N和K-1+W的大小關係是不確定的，如果N>=K-1+W最終結果一定是1）
• 狀態轉移方程:當前爲i的情況下，抽取每一張牌的概率爲1/W，獲勝的概率爲其對應的dp值$dp[i] = \frac{dp[i+1]+dp[i+2]+dp[i+3]+…+dp[i+W]}{W}$
• 代碼中，狀態轉移方程需要求當前元素後面W項的和，用sum來計算

class Solution {
public:
    double new21Game(int N, int K, int W) {
        //定義dp
        //dp[i]:當前得分爲i的情況下，分數不超過N的概率
        //i最大爲：K—1+W
        if(K - 1 + W <= N)//當累計的最終結果的最大值不超過N，最終概率爲1
            return 1;
        vector<double> dp(K + W, 0);
        //初始化：當前得分>=K,分數不超過N的概率爲1，因爲無需再抽取數字
        for(int i = K; i < K + W && i <= N; ++i)
            dp[i] = 1;
        double sum =  N - K + 1;//初始時，1的個數
        for(int i = K - 1; i >= 0; --i){
            dp[i] = sum / W;
            sum = sum + dp[i] - dp[i + W];
        }
        return dp[0];
    }
};