leetcode837. 新21点/动态规划

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

• 0 <= K <= N <= 10000
• 1 <= W <= 10000
• 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
• 此问题的判断限制时间已经减少。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game
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基本思想

这道题当初的思想是枚举所有的结果，并统计次数；并计算结果中不超过N的次数，二者相比求概率。这个思想的错误在于：每一种组合并不是等概率出现的。
例如：K = 3, N = 3, W = 2。对于 1，2 和1，1，2，这两种情况出现的概率不相等前者出现的概率是1/4，后者是1/8.

动态规划：

• dp[i]：当前分数为 i 时，获胜的概率。也就是说，当前抽取的和为 i ,再抽取一张有多大概率能获胜。那么最终结果就是dp[0]
• i 的范围：i 最小为0，最大为 K - 1 + W（也就是当前和为K - 1，还能在抽取一次，再抽取一次的结果最大是W）
• 初始值：当i >= K 且 i < = N时，dp[i] = 1;当 i >= K且i > N时，dp[i] = 0。（说明：N和K-1+W的大小关系是不确定的，如果N>=K-1+W最终结果一定是1）
• 状态转移方程:当前为i的情况下，抽取每一张牌的概率为1/W，获胜的概率为其对应的dp值$dp[i] = \frac{dp[i+1]+dp[i+2]+dp[i+3]+…+dp[i+W]}{W}$
• 代码中，状态转移方程需要求当前元素后面W项的和，用sum来计算

class Solution {
public:
    double new21Game(int N, int K, int W) {
        //定义dp
        //dp[i]:当前得分为i的情况下，分数不超过N的概率
        //i最大为：K—1+W
        if(K - 1 + W <= N)//当累计的最终结果的最大值不超过N，最终概率为1
            return 1;
        vector<double> dp(K + W, 0);
        //初始化：当前得分>=K,分数不超过N的概率为1，因为无需再抽取数字
        for(int i = K; i < K + W && i <= N; ++i)
            dp[i] = 1;
        double sum =  N - K + 1;//初始时，1的个数
        for(int i = K - 1; i >= 0; --i){
            dp[i] = sum / W;
            sum = sum + dp[i] - dp[i + W];
        }
        return dp[0];
    }
};