相機標定基本原理

原創

2020-07-05 15:52

一、座標系簡介
1、世界座標系：三維世界中定義的座標系，用（X, Y, Z）表示其座標值。
2、相機座標系：以相機的光心爲座標原點，通常情況下定義Z軸指向相機前方，X軸指向相機平面向右，Y軸向上，滿足右手法則。其座標值表示爲（x, y, z）。
3、相機歸一化座標系：該座標系沒有實際的物理意義，與相機座標系只差一個尺度縮放因子。
4、圖像座標系：以相機光心在圖像平面的投影點爲座標原點，X軸和Y軸方向與相機座標系方向一致，用(u,v)表示其座標值。
5、像素座標系：以圖像平面的左上角頂點爲原點，u軸(X軸)向右與x軸平行，v軸(Y軸)向下與y軸平行。像素座標系與圖像座標系之間差了一個縮放和原點的平移。
（注：上圖中的圖像座標系與此處第五條像素座標系相對應）
二、各座標系之間的變換關係
如下圖所示，O-x-y-z爲相機座標系，O’-x’-y’-z’爲圖像座標系。點P是空間中一點，在成像平面上的投影點是P’。

設P在相機座標系下的座標是 [X,Y,Z]T，P’在圖像座標系的座標是 [X′,Y′,Z′]T，在像素座標系下的座標是 (u,v)。且成像平面到光心的焦距f已知。以此推導相機座標系與像素座標系之間的關係。

首先由三角形相似原理可以得到各座標的絕對值之間有如下等式。

這便是相機座標系與圖像座標系之間的關係。之前說了，像素座標系與圖像座標系之間差了一個縮放和平移，因此假設其在u軸(X軸)上縮放了α倍，平移了cx；v(Y軸)上縮放了β倍，平移了cy。因此可以自然的寫出下面的公式。

再將上面的兩個公式合併，得到如下結果。即P點相機座標與像素座標的關係。

這裏可以取

於是

可以將這個式子寫成矩陣的形式

這裏的變換用到了齊次座標，多了一個1=1的恆等式，能看懂就行。中間的3×3矩陣便是相機的內參矩陣K。所以更簡單的形式如下。

更多時候我們可能已知的是相機內參和像素座標求解該點在相機座標系下的座標，因此稍作變換即可。

這裏還有最後一個問題，就是Z我是不知道的，但是在等式右邊出現了，因此需要移到左邊來，左右兩邊同時乘以1/Z。

這樣便可以計算了。只是需要注意的是，這裏的Z被歸一化了，同時X、Y座標也不再是真實的座標了，和真實座標相比都差了Z倍。但是它們彼此的比例關係還是沒變的。