數據結構與算法——競賽樹

1 概述

• 競賽樹分爲贏者樹和輸者樹，贏者樹更直觀，輸者樹實現更高效。
• 比賽用二叉樹來描述，每個外部節點表示一名選手，每個內部節點表示一場比賽，同一層內部節點代表一輪比賽，可以同時進行。
  
  如果競賽樹是完全二叉樹，則對於n個選手的比賽，最少的比賽場次爲$log_2n$。
• 競賽樹不全是完全二叉樹，但是完全二叉樹可以是比賽的次數最少，競賽樹也成爲選擇樹。

2 贏者樹

2.1 定義
（1）贏者樹：有n個選手的贏者樹是一個完全二叉樹，有n個外部節點和n-1個內部節點，每個內部節點記錄的是該節點比賽的贏者。
分類：最大贏者樹、最小贏者樹（平局的時候左孩子選手獲勝）
優點：當一個選手分數改變時，修改競賽樹比較容易。
2.2 抽象數據類型winnerTree
假設：選手個數一定，初始化後不能增減選手。

選手本身並不是贏者樹的組成部分，內部節點纔是。

template<class T>
class winnerTree
{
public:
	virtual ~winnerTree() {}
	virtual void initialize(T* thePlayer, int theNumberOfPlayers) = 0;
	// create winner tree with thePlayer[1:numberOfPlayers]
	virtual int winner() const = 0;
	// return index of winner
	virtual void rePlay(int thePLayer) = 0;
	// replay matches following a change in thePLayer
};

2.3 贏者樹的實現
（1）表示

n名選手，n-1個內部節點分別對應數組player[1: n]，tree[1: n-1]
對於任何一個外部節點player[i]，其父節點tree[p]由以下公式給出：
$p=\left\{ \begin{aligned} (i+offset)/2 &&&&&& {i\leq lowExt } \\ (i-lowExt+n-1)/2 &&&&&& {i >lowExt} \end{aligned} \right.$
其中，$s=2^{|log_2(n-1)|}$、$offset=2*s-1$
（2）初始化
從右孩子開始，逐層往上，且每層從左往右依次考察右孩子選手。
（3）類completeWinnerTree

template<class T>
class completeWinnerTree : public winnerTree<T>
{
public:
	completeWinnerTree(T* thePlayer, int theNumberOfPlayers)
	{
		tree = NULL;
		initialize(thePlayer, theNumberOfPlayers);
	}
	~completeWinnerTree() { delete[] tree; }
	void initialize(T*, int);
	int winner() const
	{
		return tree[1];
	}
	int winner(int i) const
	{
		return (i < numberOfPlayers) ? tree[i] : 0;
	}
	// return winner of match at node i
	void rePlay(int);
	void output() const;
private:
	int lowExt;           // lowest-level external nodes
	int offset;           // 2^log(n-1) - 1
	int* tree;            // array for winner tree
	int numberOfPlayers;
	T* player;            // array of players
	void play(int, int, int);
};

3 總結

最先適配法求解箱子問題
相鄰適配法求解箱子裝載問題