數論 莫比烏斯反演 學習筆記

 

基礎知識

1.歐拉函數

定義 即小於n的正整數中與n互質的數的個數

性質

1.對於素數 f(P) = P - 1;

2.不完全積性函數 f(mn) = f(m) * f(n) 當且僅當（m,n) = 1成立

3.對於一個正整數N的素數冪分解（唯一分解定理）

f(N) = N * (1 - 1/P1) * (1 - 1/P2) * ... * (1 - 1/Pn)

4.除了N = 2，f(N)均爲偶數

 

拓展：一個數的所有質因數之和 = euler(n) * n  / 2;

模版：

ll euler(ll n) {
    ll res = n;
    for(ll i = 2;i * i <= n;i++){
           if(n % i == 0) res = res / i * (i - 1);
           while(n % i == 0 ) n /= i;
    }
    if(n > 1 ) res = res / n * (n - 1 );
    return res;
}

 

線性篩歐拉函數

void getphi() {
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n; i++) {
        if(!mark[i]) {
            phi[i] = i - 1;
            pri[++tot] = i;
        }
        for(int j = 1; j<= tot ; j++) {
            int x = pri[j];
            if(i * x > n) break;
            mark[i* x] = 1;
            if(i % x == 0) {
                phi[i * x] = phi[i] * x;
                break;
            }
            else phi[i * x] = phi[i] * phi[x];
        }
    }
}

 

 

莫比烏斯反演線性篩 

//莫比烏斯函數線性篩
int prime[MAXN],prime_tot;
bool prime_tag[MAXN];
int mu[MAXN];
void pre_calc(int lim) {
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= lim; i++) {
        if(!prime_tag[i]) {
            prime[++prime_tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j<= prime_tot;j++) {
            if(i * prime[j] > lim) break;
            prime_tag[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0) mu[i * prime[j]] = 0;
            break;
        }
        else {
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

（圖自 UESTC ACM）