C++刷题笔记：动态规划

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斐波那契数列

最简单的递归法：
存在大量的重叠子问题，时间复杂度为 $O(2^n)$，很慢，会超时。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==0 or n==1) return n;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

动态规划： 直接从子树求得答案，过程是从下往上，时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==0 or n==1) return n;
        int a{0}, b{1}, c;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
};

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青蛙跳台阶

题目描述：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

分析：
假设 $f[i]$ 表示跳上第 $i$ 个台阶的方法数，而第n个台阶可以是由第n-1个台阶跳上的，也可以是由第n-2个台阶跳上的，所以方法数 $f[n] = f[n-1] + f[n-2]$ ，且初始条件 f[1] = 1，f[2] = 2. 本质上还是斐波那契数列。不再附代码了。

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变态跳台阶

题目描述：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：
假设 $f[i]$ 表示跳上第 $i$ 个台阶的方法数，求 $f[n]$ 。

假设现在已经跳到了第 n 个台阶，那么前一步可以从哪些台阶到达呢？

• 如果上一步跳 1 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-1 个台阶，而跳到第n-1个台阶的方法数为f[n-1]；
• 如果上一步跳 2 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-2 个台阶，而跳到第n-2个台阶的方法数为f[n-2]；
• 。。。
• 如果上一步跳 n-1 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 1 个台阶。已知跳到 第1个台阶的方法数为f[1] = 1
• 如果上一步跳 n 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 0 个台阶。已知跳到 第0个台阶的方法数为f[0] = 0

那么总的方法数就是所有可能的和：f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[1]
显然初始条件还是 f[1] =1, f[2] = 2

继续分析：

f[n] = f[n-1] + f[n-2] + … + f[1]， 那么 f[n-1] 呢？
显然，f[n-1] = ff[n-2] + … + f[1]
原来如此：f[n] = f[n-1] × 2

继续分析：

累乘法:
f[n] = f[n-1] × 2
f[n-1] = f[n-2] × 2
…
f[3] = f[2] × 2 = 2 × 2
所以：f[n] = pow(2, n-1)

return pow(2, n-1);

return 1 << (n-1);