2020全国统一省选day1 魔法商店

题目

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正解

据说是一道论文题……
论文：2018集训队论文高睿泉《浅谈保序回归问题》

保序回归问题：
有一个正整数$p$，给出一个有向图，点$i$有权值$(w_i,y_i)$，需要调整$y_i$的值使得$y_i$满足有向无环图的偏序关系。调整的代价为前后$y_i$的差的$p$次方乘$w_i$，求最小的代价。
形式化地说：给每个点赋一个新的权值$f_i$，使得每条边$(u,v)\in E$满足$f_u\leq f_v$，求$\sum w_i|f_i-y_i|^p$的最小值。
这样的问题记作$L_p$

其实这种问题之前已经做过一次了：jzoj6734. 【2020.06.18省选模拟】T2 航行
没错就是比赛的前天做到的题
套路做法：整体二分，强制每个权值只能选择$mid$或$mid+1$，跑最大（小）权闭合子图，选$mid$的点最终的权值$\leq mid$，选$mid+1$的点最终的权值$>mid$，分开来递归求解。
之前做的那一道题的限制关系比较优美，所以可以DP处理。

最大（小）权闭合子图：
“闭合子图”就是某个点集$V$，满足对于任意$u \in V$，对于任意$(u,v)\in E$都有$e\in V$。用人话说就是从$V$中的每个点开始遍历，
能够遍历到的每个点都在$V$中。每个点上有个权值$w_i$，要选出一个闭合子图使得点权最大。
一般套路：网络流，建个新图。对于每个点$i$，如果$w_i>0$就连边$(S,i,w_i)$，如果$w_i<0$就连边$(i,T,-w_i)$。原图中的每一条边都在新图中对应地连，容量无穷。
答案为$\sum_{w_i>0} w_i-最小割$
理解：如果不考虑限制，则贪心地选所有正权点是最优的。加入限制，对于一个点$u$，如果它不选，则所有$v$，满足从$v$开始遍历可以走到$u$，这些$v$都不能选。显然所有$u$满足这个条件是充分必要条件。
放在图中来看：割掉边$(u,T)$，即选$v$，或者割掉边$(S,v)$，即不选$v$。

具体来说，求解最大（小）权闭合子图的时候，如下处理：
将权值选$mid$记作“不选”，将权值选$mid+1$记作“选”。
对于点$i$，它的权值设为$-(w(i,mid+1)-w(i,mid))$（$w(i,f)$为$y_i$变为$f$时的代价）。为什么这么设，因为本该跑最小权闭合子图，取个负号就变成最大权闭合子图了。当然也可以不这样设。
如果某个点“选”，那么它能遍历到的所有点都必须“选”。由此得出限制关系，建图。
跑最大权闭合子图。
答案即$\sum w(i,mid)-最大权$
具体方案看$S$集或$T$集即可。

这题的正解大概可以分为两个部分：求出限制关系和求解保序回归问题。
后者上面已经讨论过了，就讲述一下前者。
只考虑$A$带来的限制，$B$同理。
显然一个礼品集合就是一个线性基。假如有另一个线性基$C$，它可以通过从$A$开始，依次替换线性基中的向量得到，并且保证替换的过程中一直都是线性基。
表示不会证。（具体证明好像要用到拟阵之类的）。
假设知道了上面的结论是对的，那么显然我们只需考虑$A$被替换了一个元素的情形。于是，对于每个数$c_i$，找到$c_i$能替换哪些元素，钦定它们都要小于等于$c_i$。
不难发现$c_i$能替换哪些元素，等价于$c_i$能被表示成$A$中的哪些元素异或起来。
这应该是线性基的一个基本操作吧。建线性基的时候，用个bitset来表示线性基中的某个数是原来的哪几个数异或过来。查询的时候，将异或的线性基中的几个数的bitset异或起来。详见代码。
这题$m$比较小，直接开整型压位即可。
（有更优美的操作请路过的大佬指教）

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 1005
#define M 64
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF LLONG_MAX
int n,m;
ull c[N];
int v[N],y[N];
int a[M],b[M];
struct edge{
	int u,v;
} ed[N*M*2];
int cnt;
void getGraph(int a[],int flag){
	static ull s[M],p[M];
	memset(s,0,sizeof s);
	memset(p,0,sizeof p);
	for (int i=0;i<m;++i){
		ull x=c[a[i]],t=1ull<<i;
		for (int j=0;j<64;++j)
			if (x>>j&1){
				if (s[j]){
					x^=s[j];
					t^=p[j];
				}
				else{
					s[j]=x;
					p[j]=t;
					break;
				}
			}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ull x=c[i],t=0;
		for (int j=0;j<64 && x;++j)
			if (x>>j&1){
				x^=s[j];
				t^=p[j];
			}
		for (int j=0;j<m;++j)
			if (t>>j&1 && a[j]!=i)
				ed[cnt++]=(flag==1?(edge){a[j],i}:(edge){i,a[j]});
	}
}

struct EDGE{
	int to;
	ll c;
	EDGE *las;
} e[(N*M*2+N)*2];
int ne;
EDGE *last[N];
int S,T;
void link(int u,int v,ll c){
	e[ne]={v,c,last[u]};
	last[u]=e+ne++;
}
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
int dis[N],gap[N],BZ;
EDGE *cur[N];
ll dfs(int x,ll s){
	if (x==T)
		return s;
	ll have=0;
	for (EDGE *ei=cur[x];ei;ei=ei->las){
		cur[x]=ei;
		if (ei->c && dis[ei->to]+1==dis[x]){
			ll t=dfs(ei->to,min(s-have,ei->c));
			ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have+=t;
			if (have==s)
				return s;
		}
	}
	cur[x]=last[x];
	if (!--gap[dis[x]])
		BZ=0;
	++dis[x];
	++gap[dis[x]];
	return have;
}
void flow(){
	BZ=1;
	while (BZ)
		dfs(S,INF);
}

int p[N];
ll need(int x,int y){return (ll)(v[x]-y)*(v[x]-y);}
int vis[N],bz;
void find(int x){
	vis[x]=bz;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->c && vis[ei->to]!=bz)
			find(ei->to);
}
void divide(int lv,int rv,int p[],int n,edge ed[],int m){
	static int tmpp[N];
	static edge tmped[N*M*2];
	if (n==0)
		return;
	if (lv==rv){
		for (int i=0;i<n;++i)
			y[p[i]]=lv;
		return;
	}
	int mid=lv+rv>>1;
	ne=0;
	for (int i=0;i<n;++i)
		last[p[i]]=0;
	last[S]=last[T]=0;
	for (int i=0;i<m;++i){
		link(ed[i].u,ed[i].v,INF);
		link(ed[i].v,ed[i].u,0);
	}
	for (int i=0;i<n;++i){
		ll w=-(need(p[i],mid+1)-need(p[i],mid)); 		
		if (w>0)
			link(S,p[i],w),link(p[i],S,0);
		else if (w<0)
			link(p[i],T,-w),link(T,p[i],0);
	}
	dis[S]=dis[T]=0;
	for (int i=0;i<n;++i)
		dis[p[i]]=0;
	gap[0]=n+2;
	flow();
	gap[dis[S]]--,gap[dis[T]]--;
	for (int i=0;i<n;++i)
		gap[dis[p[i]]]--;

	++bz,find(S);
	int p0=0,p1=n-1;
	for (int i=0;i<n;++i)
		if (vis[p[i]]!=bz)
			tmpp[p0++]=p[i];
		else
			tmpp[p1--]=p[i];
	memcpy(p,tmpp,sizeof(int)*n);
	int e0=0,e1=m-1;
	for (int i=0;i<m;++i)
		if (vis[ed[i].u]!=bz && vis[ed[i].v]!=bz)
			tmped[e0++]=ed[i];
		else if (vis[ed[i].u]==bz && vis[ed[i].v]==bz)
			tmped[e1--]=ed[i];
	memcpy(ed,tmped,sizeof(edge)*m);
	divide(lv,mid,p,p0,ed,e0);
	divide(mid+1,rv,p+p1+1,n-1-p1,ed+e1+1,m-1-e1);
}
int main(){
	freopen("shop.in","r",stdin);
	freopen("shop.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%llu",&c[i]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&v[i]);
	for (int i=0;i<m;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=0;i<m;++i)
		scanf("%d",&b[i]);
	getGraph(a,1),getGraph(b,-1);
	for (int i=0;i<n;++i)
		p[i]=i+1;
	S=n+1,T=n+2;
	divide(0,1000000,p,n,ed,cnt);
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		ans+=need(i,y[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}