手动反爬虫:
原博地址
知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息
如若转载,请标明出处,谢谢!
1 转置
行列式转置:就是把行列进行调换,行变成列,列变成行
D=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣ ⇒ DT=∣∣∣∣∣∣123456789∣∣∣∣∣∣
两次转置之后就回去了,因此行列式的第一个性质就有了
转置特性: ((DT)T)⇒D
看一下行列式及其转置展开后数值的关系,比如原行列式按行展开,取其列标为132,则对应的展开项就为(−1)N(132)1∗6∗8,而该行列式的转置采用按列展开,要想也取相同的元素,则应取其行标为132,则对应的展开项就为(−1)N(132)1∗6∗8,由此可知,原行列式的展开项和转置后的展开项是一致的,故行列式的值是相等的,也就有了第二个性质
性质(1): DT=D
性质1虽然简单,但是有种万丈高楼平地起的感觉(很基础但又有决定性意义),翻译过来就是:行列式中对行成立的性质,对列也同样成立,因此在证明的时候,就只需要证明性质对行成立即可,默认就是对列成立
2 行列性质
性质(2):行列式的两行(列)互换,值变号
比如将下面的行列式的第一行和第三行进行调换
D=∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ D1=∣∣∣∣∣∣∣∣95113106214117315128416∣∣∣∣∣∣∣∣=−D
证明:将D进行展开(第一种定义),假如取的元素是2,7,12,13,其对应的行标为1,2,3,4,列标为2,3,4,1,所以对应的展开项就为:(−1)N(2341)2∗7∗12∗13,要使D1取相同的元素,其对应的行标为3,2,1,4,列标为2,3,4,1,因此D1的展开是属于第三种定义,对应的展开项就为:
(−1)N(3214)+N(2341)2∗7∗12∗13=(−1)N(3214)(−1)N(2341)2∗7∗12∗13
其中(−1)N(3214)可以和(−1)N(1234)进行对比,可以发现1和3进行了一次对换,因此前一项的结果就是-1,而后面的结果就是相同的,故经过行互换的行列式的每一项都是原来展开项的相反数,最终的结果也就是互换后行列式的值变号
为啥会多一个负号?根据展开项的标号来看,列标是没有发生变化的(比如都是2341),经过变换后行标发生改变,变化的过程为:原来的1234变化为3214,就是进行了一次对换,所以会多出来一个负号
性质(3):两行(列)相等,行列式的值为0 ⇒D=0
参考一下如下行列式的变换过程
D=∣∣∣∣∣∣∣∣15113262143731548416∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ −D=∣∣∣∣∣∣∣∣15113262143731548416∣∣∣∣∣∣∣∣=D
根据上面的性质(2),将第一行和第三行进行互换,行列式的值变号,所以最后就有了行列式的值为0−D=D ⇒ D=0
性质(4):某一行乘以k,等于用k乘以D
D=∣∣∣∣∣∣∣∣15k91326k101437k111548k1216∣∣∣∣∣∣∣∣ = k∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣=k∗D
主要用的是该性质的推论:某一行有公因子k,k可以提到外边去;n阶行列式所有元素都有公因式k,公因式外提n次,如下,有4行就可以提4个k,故是k的四次方
D=∣∣∣∣∣∣∣∣1k5k9k13k2k6k10k14k3k7k11k15k4k8k12k16k∣∣∣∣∣∣∣∣ = k4∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣=k4∗D
性质(5):两行(列)对应成比例,行列式值为0 ⇒D=0
行列式变换过程如下:借用性质(3):两行(列)成比例,行列式的值为0
D=∣∣∣∣∣∣118218318∣∣∣∣∣∣ ⇒ 8∣∣∣∣∣∣111211311∣∣∣∣∣∣=0
推论:某一行全为0, 该行列式的值为0 ⇒D=0
D=∣∣∣∣∣∣108208308∣∣∣∣∣∣ ⇒ ∣∣∣∣∣∣10∗8820∗8830∗88∣∣∣∣∣∣ ⇒ 0∣∣∣∣∣∣188288388∣∣∣∣∣∣=0
上面的过程是用性质(5)证明的推论,当然也可以使用行列式的定义来证明,因为每一个展开项都需要取到行为0的元素,也就是说每个展开项都会和0相乘,故最后的值为0
小结一下关于行列式为0的性质和推论,以下有三种
易错点: 当行列式的值为0时,左侧的三个至少有一个成立(这种说法是错误的,只能正向推)
举个反例
D=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣=0
性质(6):加法可拆性,和的那一行分开,其余行保持不变
梳理过程如下:
D=∣∣∣∣∣∣14+1725+2836+39∣∣∣∣∣∣ ⇒ ∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣117228339∣∣∣∣∣∣ =0+0=0
注意这种加法可拆性是针对有和的那一行,其余的是不变的,比如
易错点: 直接将多行按照一行来拆分,
∣∣∣∣∣∣a+ba+cb+cb+ca+ba+ca+cb+ca+b∣∣∣∣∣∣ != ∣∣∣∣∣∣aabbbccca∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣bcccaacbb∣∣∣∣∣∣
正确结果应该是拆分为23=8项
∣∣∣∣∣∣a+ba+cb+cb+ca+ba+ca+cb+ca+b∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣aa+cb+cba+ba+ccb+ca+b∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ba+cb+cca+ba+ccb+ca+b∣∣∣∣∣∣=......
性质(7):某一行(列)乘以一个数,加到某一行(列),行列式的值不变
证明过程梳理如下:比如第一行乘以5加到第二行,然后使用性质(5)和性质(6),即可得证
D=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣11+5921+10930+1510∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣159210931510∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣
3 行列式值的计算
核心思想:将行列式转化为上三角行列式,最后的值就为主对角线各元素之和
操作步骤:①先处理第一列,再处理第二列,再第三列…
②第一列处理完,接下来第一列不再参与运算;第二列处理完,接下来第二列不再参与运算…
比如:先将第一列非第一行所有元素化为0,然后相同的方法操作第二列,紧接着第三/四列
D=∣∣∣∣∣∣∣∣12052331001051510184∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10052−13100105151−2184∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10002−1300105151−218−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10002−1000103501−212−743∣∣∣∣∣∣∣∣=215
注意:如果第一行的第一个元素不是1,要找到行数为1的进行调换位置,或者找到方便转化为1的行数进行调换,然后继续执行上诉的步骤,如下:
① 找到元素为1的行
∣∣∣∣∣∣∣∣81932331001051510184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒∣∣∣∣∣∣∣∣18033231010051501184∣∣∣∣∣∣∣∣
② 找到方便转化为1的行再调换
∣∣∣∣∣∣∣∣8393233100651519184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣8193213100251513184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣1893123102051531184∣∣∣∣∣∣∣∣
至此行列式的7大性质及其推论,全部梳理完毕,下一部分梳理行列式计算的实例